[Scoi2015]小凸玩矩阵

bzoj 4443: [Scoi2015]小凸玩矩阵

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4443

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Description

小凸和小方是好朋友，小方给小凸一个N*M（N<=M)的矩阵A,要求小秃从其中选出N个数，其中任意两个数字不能在同一行或同一列，现小凸想知道选出来的N个数中第K大的数字的最小值是多少。

Input

第一行给出三个整数N,M,K

接下来N行，每行M个数字，用来描述这个矩阵

Output

如题

Sample Input

3 4 2 1 5 6 6 8 3 4 3 6 8 6 3

Sample Output

3

HINT

1<=K<=N<=M<=250,1<=矩阵元素<=10^9

二分+最大流

二分一个x，矩阵中的数i若<=x，就从数i的行向列连一条流量为1的边

源点向每一行连一条流量为1的边，列向汇点连一条流量为1的边

最后判断流量是否>=n-k+1，大于return true 否则return false

why?

因为第k大相当于第n-k+1小，我们把所有<=x的边加进去，若最大流>=n-k+1，说明x至少是第n-k+1小，还可能更大

若最大流<n-k+1，说明x不能是第k大，需要找一个更大的

可能会有一个问题：

加边的时候，判断数i<x就加，最后判断流量是否>=n-k 行吗？

不行，因为这里的第k大不是严格意义上的第k大，可能有大小相同的数，去掉=可能少加的不是1条边，是所有与x相等的边

刚开始的时候并不是在行、列之间加边，而是判断完后，把矩阵中的点加进去，在这个点和行、列间各连一条边，TLE

完全没有必要赛这个点进去，因为最后判断的是流量，流量相当于点的个数，至于经过哪个点无所谓，二分总会分到的

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m,k,src,decc,l,r,tot=1,ans;
int a[251][251],b[251000],front[63010],nextt[251000],to[251000],cap[251000],cnt[63010],lev[63010];
queue<int>q;
void add(int u,int v,int w)
{
    to[++tot]=v;cap[tot]=w;nextt[tot]=front[u];front[u]=tot;
    to[++tot]=u;cap[tot]=0;nextt[tot]=front[v];front[v]=tot;
}
bool bfs()
{
    for(int i=0;i<=n+m+1;i++) {cnt[i]=front[i];lev[i]=-1;}
    while(!q.empty()) q.pop();
    q.push(src);lev[src]=0;
    while(!q.empty())
    {
        int now=q.front();q.pop();
        for(int i=front[now];i!=0;i=nextt[i])
        {
            int t=to[i];
            if(cap[i]>0&&lev[t]==-1)
            {
                q.push(t);
                lev[t]=lev[now]+1;
                if(t==decc) return true;
            }
        }
    }
    return false;
}
int dinic(int now,int flow)
{
    if(now==decc) return flow;
    int delta,rest=0;
    for(int & i=cnt[now];i!=0;i=nextt[i])
    {
        int t=to[i];
        if(lev[t]==lev[now]+1&&cap[i]>0)
        {
            delta=dinic(t,min(cap[i],flow-rest));
            if(delta)
            {
                cap[i]-=delta;cap[i^1]+=delta;
                rest+=delta;if(rest==flow) break;
            }
        }
    }
    if(rest!=delta) lev[now]=-1;
    return rest;
}
bool check(int u)
{
    int tmp=0;tot=1;
    memset(front,0,sizeof(front));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        add(src,i,1);
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(a[i][j]>u) continue;
            add(i,n+j,1);
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
     add(n+i,decc,1);
    while(bfs()) tmp+=dinic(src,63000);
    if(tmp>=n-k+1) return true;
    return false;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=1;j<=m;j++)
       {
          scanf("%d",&a[i][j]);
          b[(i-1)*m+j]=a[i][j];
       }
    decc=n+m+1;
    sort(b+1,b+n*m+1);
    l=1,r=n*m;
    while(l<=r)
    {
        int mid=l+r>>1;
        if(check(b[mid])) { ans=b[mid];r=mid-1;}
        else l=mid+1;
    }
    printf("%d",ans);
}