浅浅地聊一下矩阵与线性映射及矩阵的特征值与特征向量

都说矩阵其实就是线性映射，你明白不？反正一开始我是不明白的；

线性映射用矩阵表示：（很好明白的）

有两个线性空间，分别为V1与V2， V1的一组基表示为，V2的一组基表示为；（注意哦，维度可以不一样啊，反正就是线性空间啊），

1， 现在呢，有一个从V1到V2的映射F， 它可以把V1中的一组基都映射到线性空间V2中去，所以有：

用矩阵可以表示为：

2，现在我们把在V1中有一个向量A，经过映射F变为了向量B，用公式表示为：

                               

所以呢，坐标的映射表示为：

由上面的过程，我们看到了：可以把一个映射F用矩阵 表示；

由空间X映射到空间Y时，向量的坐标转换表示为：

所以呢，我们可以把矩阵看作是线性变换或线性映射；

（补充一下什么是线性映射？满足下面两个条件：   ）

矩阵的特征值与特征向量：

应该说是线性映射的特征值与特征向量，应该映射可以用矩阵表示，所以也可以说是矩阵的特征值与特征向量；

1，用线性映射表示：

在空间V中的一个线性映射Ｆ，若在空间V的存在一个向量，满足下面：

　　　　　　则向量称为映射的特征向量，为映射的特征值；

２，用矩阵表示：

把上面的公式改改，把矩阵A表示映射，用坐标　　来表示向量，可以得到：

因为向量映射后结果为，所以，映射前后的线性空间是没有变化的，所以映射前后可以用同一组基表示，所以有：

最后得到：

看看特征向量到底是什么？

对于一个映射，特征向量才是本质有用的，特征值的作用不大。一个特征值对应了一个特征向量族（因为可以乘以一个系数，可以它的个数是无穷的），而一个特征向量只能对应一个特征值；

不严格地说：特征向量可以理解为，在一个映射F过程中，那些原线性空间中的在映射过程中方向不变（正负没事）只是scale变化的向量；

更严格地说，应该是在映射过程中，映射前后所处的线性空间不变的那些向量，因为映射前后的结果可以用同一组基表示；