转自:Angel_Kitty
Sprague-Grundy定理(SG定理):
游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和。这样就可以将每一个子游戏分而治之,从而简化了问题。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim游戏中的直接应用,因为单堆的Nim游戏 SG函数满足 SG(x) = x。对博弈不是很清楚的请参照http://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6398385.html进行进一步理解。
SG函数:
首先定义mex(minimal excludant)运算,这是施加于一个集合的运算,表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
对于任意状态 x , 定义 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后继状态的SG函数值的集合。如 x 有三个后继状态分别为 SG(a),SG(b),SG(c),那么SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。 这样 集合S 的终态必然是空集,所以SG函数的终态为 SG(x) = 0,当且仅当 x 为必败点P时。
【实例】取石子问题
有1堆n个的石子,每次只能取{ 1, 3, 4 }个石子,先取完石子者胜利,那么各个数的SG值为多少?
SG[0]=0,f[]={1,3,4},
x=1 时,可以取走1 - f{1}个石子,剩余{0}个,所以 SG[1] = mex{ SG[0] }= mex{0} = 1;
x=2 时,可以取走2 - f{1}个石子,剩余{1}个,所以 SG[2] = mex{ SG[1] }= mex{1} = 0;
x=3 时,可以取走3 - f{1,3}个石子,剩余{2,0}个,所以 SG[3] = mex{SG[2],SG[0]} = mex{0,0} =1;
x=4 时,可以取走4- f{1,3,4}个石子,剩余{3,1,0}个,所以 SG[4] = mex{SG[3],SG[1],SG[0]} = mex{1,1,0} = 2;
x=5 时,可以取走5 - f{1,3,4}个石子,剩余{4,2,1}个,所以SG[5] = mex{SG[4],SG[2],SG[1]} =mex{2,0,1} = 3;
以此类推.....
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8....
SG[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1....
由上述实例我们就可以得到SG函数值求解步骤,那么计算1~n的SG函数值步骤如下:
1、使用 数组f 将 可改变当前状态 的方式记录下来。
2、然后我们使用 另一个数组 将当前状态x 的后继状态标记。
3、最后模拟mex运算,也就是我们在标记值中 搜索 未被标记值 的最小值,将其赋值给SG(x)。
4、我们不断的重复 2 - 3 的步骤,就完成了 计算1~n 的函数值。
例题一:
HDU 1536 S-Nim
题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1536
题目大意:两个人玩Nim游戏,但是对规则进行了改变,每次只能给定集合A={a1,a2....ak}内的石子个数,问先手是否会胜利。
解题思路:这就可以直接用我们上面的结论了,可以将各堆的SG值当成Nim里的堆来用,异或求出sum=sg(x1)^sg(x2)^.....sg(xn),sum如果不等于0,则先手必胜,反之,必败。这里我把sg函数写成了递推的形式,还有一点,vis[]一定要是bool型!!!否则memset()会超时,原来memset()对bool类型的速度int快那么多,今天才知道。。。
代码:
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 const int N=1e4+5; 4 int sg[N];//存储各个点的SG值 5 bool vis[N];//vis一定要是bool型,否则memset会超时,vis[i]=true,表示在集合S内 6 int s[105]; 7 8 //sg函数 9 void sg_solve(int k){ 10 memset(sg,0,sizeof(sg)); 11 for(int i=0;i<N;i++){ 12 memset(vis,false,sizeof(vis)); 13 for(int j=1;j<=k;j++){ 14 //将能够一步到达的状态的SG值存入集合S 15 if(i-s[j]>=0) 16 vis[sg[i-s[j]]]=true; 17 } 18 for(int j=0;;j++){ 19 if(!vis[j]){ 20 sg[i]=j; 21 break; 22 } 23 } 24 } 25 } 26 27 int main(){ 28 int k; 29 while(~scanf("%d",&k)&&k){ 30 for(int i=1;i<=k;i++){ 31 scanf("%d",&s[i]); 32 } 33 sg_solve(k); 34 int n; 35 scanf("%d",&n); 36 while(n--){ 37 int m,sum=0; 38 scanf("%d",&m); 39 for(int i=1;i<=m;i++){ 40 int x; 41 scanf("%d",&x); 42 sum^=sg[x]; 43 } 44 if(sum) 45 printf("W"); 46 else 47 printf("L"); 48 } 49 printf("\n"); 50 } 51 }