POJ2142 The Balance (扩展欧几里德)

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The Balance

题目大意 

你有一个天平（天平左右两边都可以放砝码）与重量为a,b(1<=a,b<=10000)的两种砝码。让你求出一种方案称出重为c(1<=c<=50000)的物品，如有多种方案，请输出两种砝码需要数量的总和最小的方案。

输入

有若干行，每行三个数，a,b,c。

结束时用0 0 0表示。

输出

若干行，每行两个数，表示每个询问中a的数量与b的数量

如果无解输出 no solution

分析

题目就是求方程 ax+by=c,求出一组解很容易，就用扩展欧几里德求，可是要求出使|x|+|y|最小的解就得想一想。如果是枚举，肯定超时。

有没有什么好的方法求出我们要的x,y? 我们假设a>b ，x₀，y₀为求得的解，x,y为目标解。

根据扩欧的性质，我们知道

x=x₀ + b/gcd*t

y=y₀ — a/gcd*t

我们可以得到这样的函数 |x|+|y|=|x₀ + b/gcd*t|+|y₀ — a/gcd*t| 因为我们知道a>b,所以x₀加得比y₀减得比慢。因此y₀占主导地位，

故当y₀ — a/gcd*t=0时|x|+|y|最小。我们可以枚举t±5的解，寻找最小就行。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <climits>
#define MAXN 10000+10
using namespace std;
int e_gcd(int a,int b,int& x,int& y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int ans=e_gcd(b,a%b,x,y);
    int tmp=x;
    x=y;
    y=tmp-a/b*y;
    return ans;
}
int a,b,c,x,y,gcd,t,minn=~(1<<31),ansx=0,ansy=0;
int main()
{
    while(scanf("%d%d%d",&a,&b,&c)&&!(a==0&&b==0&&c==0))
    {
        int flag=0;
        if(a<b)
        {
            flag=1;
            swap(a,b);
        }
        gcd=e_gcd(a,b,x,y);
        minn=~(1<<31),ansx=0,ansy=0;
        if(c%gcd) {printf("no solution\n");continue;}
        x*=(c/gcd);y*=(c/gcd);
        t=(y*gcd)/a;
        for(int i=t-5;i<=t+5;i++)
        {
            if(abs(x+b/gcd*i)+abs(y-a/gcd*i)<minn)
            {
                minn=abs(x+b/gcd*i)+abs(y-a/gcd*i);
                ansx=abs(x+b/gcd*i),ansy=abs(y-a/gcd*i);
            }
        }
        if(flag==0) printf("%d %d\n",ansx,ansy);
        else printf("%d %d\n",ansy,ansx);
    }
    return 0;
}