EM算法（1）：K-means 算法

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EM算法（1）：K-means 算法

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　　　　　　　　　　　　　　　　　EM算法（1） ： K-means算法

1. 简介

　　K-means算法是一类无监督的聚类算法，目的是将没有标签的数据分成若干个类，每一个类都是由相似的数据组成。这个类的个数一般是认为给定的。

2. 原理

　　假设给定一个数据集$\mathbf{X} = \{\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2,...,\mathbf{x}_N \}$, 和类的个数K。我们的每个类都用一个中心点$\mu_k$表示。每个数据集都应该被归为某一个类，那么我们定义$r_{nk}$:如果$\mathbf{x}_n$属于类k,则$r_{nk}$=1；如果$\mathbf{x}_n$不属于类k，则$r_{nk}$=0。那么我们就可以定义一个误差函数$\mathbf{J}$：

　　　　　　　　　　$\mathbf{J} = \sum_n\sum_kr_{nk}||\mathbf{x}_n - \mu_k||^2$

　　误差函数直观理解为每个数据点离自己类的中心点的距离之和。那么我们的目标就是 min $\mathbf{J}$。我们发现，$\mathbf{J}$中$r_{nk}$和$\mu_k$都是未知的，直接求导的话没有闭式解。所以我们需要换一个方法，这就是所谓的k-keans算法。

　　k-means算法分为两步。第一步，假设各个类的中心$\mu_k$已知，那么所有$r_{nk}$都已知，计算方法采取最近邻原则，即

　　　　　　　　　　$r_{nk} = 1$  if  $k = arg\ min_j||\mathbf{x}_n - \mu_j||^2$　　　　　　　

$r_{nk} = 0$  otherwise