泛函和变分法导引

本文主要内容取自于浙江大学的一篇PPT，作者为Hongxin Zhang。源网页在：

http://www.cad.zju.edu.cn/home/zhx/FAVM/1.pdf

问题的起源

我们知道，平面上两点间直线距离最短。然而如何证明呢？

假设l两点坐标分别为(0,0)和(a,b)，连接两点之间的曲线方程为f(x)，那么曲线在两点间的长度可以写为：

$s=\int_{0}^{a}\sqrt{1+y‘^2}dx$

两点间距离最短，即上式取最小值，同时满足约束条件y(0)=0，y(a)=b。这就是最简单的变分问题。

在上面的式子中，距离s是函数y(x)的函数，或称泛函。一般的函数f(x)在实数x和实数f(x)之间建立对应关系；泛函$\Pi (x)$在函数f(x)和实数$\Pi (x)$之间建立对应关系。

变分法假定泛函取得极值的函数y(x)存在，通过变分法求得泛函取极值时y(x)所需满足的微分方程。