Dollar Dayz 【完全背包+高精度】

Farmer John goes to Dollar Days at The Cow Store and discovers an unlimited number of tools on sale. During his first visit, the tools are selling variously for $1, $2, and $3. Farmer John has exactly $5 to spend. He can buy 5 tools at $1 each or 1 tool at $3 and an additional 1 tool at $2. Of course, there are other combinations for a total of 5 different ways FJ can spend all his money on tools. Here they are:

        1 @ US$3 + 1 @ US$2
        1 @ US$3 + 2 @ US$1
        1 @ US$2 + 3 @ US$1
        2 @ US$2 + 1 @ US$1
        5 @ US$1

Write a program than will compute the number of ways FJ can spend N dollars (1 <= N <= 1000) at The Cow Store for tools on sale with a cost of $1..$K (1 <= K <= 100).

Input

A single line with two space-separated integers: N and K.

Output

A single line with a single integer that is the number of unique ways FJ can spend his money.

Sample Input

5 3

Sample Output

5

来源： https://vjudge.net/problem/description/9920

题意：有n元钱，商品的价格在1~k元（每种价格的商品数量无限），用n元去买这些商品，最多有多少种选择？

题解：

根据完全背包思想，第一个循环表示商品价值（i），第二个循环表示我的本钱（j）。

得出方程：dp[j] = dp[j] + dp[j-i]

• dp[j]表示当商品价格最大为 i 时，我用 j 元买这些商品的选择数。
• dp[j-i]就是根据背包问题的二进制思想来计数当有 i （当前 i 和之前算过的 i）的倍数元时的商品选择数。

当然，题目肯定不会那么简单，n范围是1000，k范围是100，会超出long long，所以我们可以把dp拆成两个数组，一个存储高位数，一个存低位数，最后拼接输出。

核心部分：

1. a[j]=a[j]+a[j-i]+(b[j]+b[j-i])/INF;
2. b[j]=(b[j]+b[j-i])%INF;

我们用a来存高位，用b来存低位（19位数之前），也就是说在19位数之前，a一直都是0，当超过19位数时，a才有能值。

也许这部分a[j]=a[j]+a[j-i]+(b[j]+b[j-i])/INF有些难理解，它和状态方程不太一样。其实并不是把超出部分直接赋予a即可，我们还不能忘记要记录超出部分的状态。

如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll __int64
ll INF=1000000000000000000;
ll a[1010];//高位
ll b[1010];//低位
int main()
{
    int n,k,i,j;
    while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF)
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(b,0,sizeof(b));
        b[0]=1;
        for(i=1;i<=k;++i)
        {
            for(j=i;j<=n;++j)
            {
                a[j]=a[j]+a[j-i]+(b[j]+b[j-i])/INF;
                b[j]=(b[j]+b[j-i])%INF;
            }
        }
        if(a[n]==0)
            printf("%I64d\n",b[n]);
        else
            printf("%I64d%018I64d\n",a[n],b[n]);
    }
    return 0;
}