51nod - 1022【四边形不等式优化DP】

1022 石子归并 V2

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 160 难度：6级算法题

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N堆石子摆成一个环。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的代价。计算将N堆石子合并成一堆的最小代价。

例如： 1 2 3 4，有不少合并方法

1 2 3 4 => 3 3 4(3) => 6 4(9) => 10(19)

1 2 3 4 => 1 5 4(5) => 1 9(14) => 10(24)

1 2 3 4 => 1 2 7(7) => 3 7(10) => 10(20)

括号里面为总代价可以看出，第一种方法的代价最低，现在给出n堆石子的数量，计算最小合并代价。

Input

第1行：N（2 <= N <= 1000)
第2 - N + 1：N堆石子的数量（1 <= A[i] <= 10000)

Output

输出最小合并代价

Input示例

4
1
2
3
4

Output示例

19

题解：

设dp[i][j]表示区间 i -> j的最低代价; 则dp[i][j]  = min(dp[i][k], dp[k+1][j]) + sum[j]-sum[i-1]; ( i: n->1, j: i -> n);

需要 n^3 的复杂度，利用四边形定理来优化，环状可以*2处理成线性。按照我的递推方向求dp[i][j]的时候，所有的左边界大于i，右边界小于j的区间都被更新过且是最优。

因此在求s[i][j]的时候，从 s[i][j-1] ~ s[i+1][j] 来进行决策更新。另一种递推方向是可以写成 s[i-1][j] ~ s[i][j+1]的，取决自己的递推方向。

关于s函数的单调性需要再学习。（满足化学主族元素的非金属性，即 左 -> 右，上 -> 下，越来越大）

代码：

 1 #include <iostream>
 2 #include <algorithm>
 3 #include <cstring>
 4 #include <cstdio>
 5 #include <bitset>
 6 #include <vector>
 7 #include <queue>
 8 #include <stack>
 9 #include <cmath>
10 #include <list>
11 #include <set>
12 #include <map>
13 #define rep(i,a,b) for(int i = a;i <= b;++ i)
14 #define per(i,a,b) for(int i = a;i >= b;-- i)
15 #define mem(a,b) memset((a),(b),sizeof((a)))
16 #define FIN freopen("in.txt","r",stdin)
17 #define FOUT freopen("out.txt","w",stdout)
18 #define IO ios_base::sync_with_stdio(0),cin.tie(0)
19 #define mid ((l+r)>>1)
20 #define ls (id<<1)
21 #define rs ((id<<1)|1)
22 #define N 2010
23 #define INF 0x3f3f3f3f
24 #define INFF ((1LL<<62)-1)
25 typedef long long LL;
26 using namespace std;
27
28 int n, m, T, c[N], s[N][N], sum[N], dp[N][N];
29 int main()
30 {IO;
31     //FIN;
32     while(cin >> n){
33         sum[0] = 0;
34         rep(i, 1, n){
35             cin >> c[i];
36             sum[i] = sum[i-1] + c[i];
37         }
38         rep(i, 1, n){
39             c[i+n] = c[i];
40             sum[i+n] = sum[i+n-1]+c[i+n];
41         }
42
43         mem(dp, 0);
44         per(i, n*2, 1){
45             rep(j, i, n*2){
46                 if(i == j)    { s[i][j] = i; continue; }
47                 dp[i][j] = INF;
48                 LL res = sum[j]-sum[i-1];
49                 rep(k, s[i][j-1], s[i+1][j]){
50                     if(dp[i][k]+dp[k+1][j]+res < dp[i][j]){
51                         dp[i][j] = dp[i][k]+dp[k+1][j]+res;
52                         s[i][j] = k;
53                     }
54                 }
55             }
56         }
57         int ans = INF;
58         rep(i, 1, n)    ans = min(ans, dp[i][i+n-1]);
59         cout << ans << endl;
60     }
61     return 0;
62 }