题目描述
形如2P-1的素数称为麦森数，这时P一定也是个素数。但反过来不一定，即如果P是个素数，2P-1不一定也是素数。到1998年底，人们已找到了37个麦森数。最大的一个是P=3021377，它有909526位。麦森数有许多重要应用，它与完全数密切相关。
任务：从文件中输入P（1000<P<3100000），计算2P-1的位数和最后500位数字（用十进制高精度数表示）
输入
文件中只包含一个整数P（1000<P<3100000）
输出
第一行：十进制高精度数2P-1的位数。
第2-11行：十进制高精度数2P-1的最后500位数字。（每行输出50位，共输出10行，不足500位时高位补0）
不必验证2P-1与P是否为素数。
样例输入
1279
样例输出
386
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000104079321946643990819252403273640855
38615262247266704805319112350403608059673360298012
23944173232418484242161395428100779138356624832346
49081399066056773207629241295093892203457731833496
61583550472959420547689811211693677147548478866962
50138443826029173234888531116082853841658502825560
46662248318909188018470682222031405210266984354887
32958028878050869736186900714720710555703168729087
题解
首先这道题得从数论的角度入手，平时我们估计一个十进制数x(x>0)的位数，往往潜在地使用了放缩法：
若10^k<=x<10^(k+1)，则x有k+1位。而当x=2^p-1时，由于x的末位不为0，因此不存在借位现象，所以x的位数等于2^p的位数。
又假设10^k<=2^p<10^(k+1)，此中的k，便等于[log10(2^p)]也就是int(log10(2^p))。
最后简单变换一下，第一问的答案便是int(p*log10(2))+1。
第二问若用高精加法，时间复杂度为O(n)。但常数过大，超时在所难免。
于是想到，要用快速幂高精。
只有一点不同，此处的快速幂是递归形式的。
当由递归得到2^(p/2)的值时，便可以通过2^p=2^(p/2)*2^(p/2)得到2^p的值，若p是奇数，2^p=2^(p/2)*2^(p/2)*2即可。
根据2^p=2^(p/2)*2^(p/2)，由高精得到a=b*b; if(n%2==1)
根据2^p=2^(p/2)*2^(p/2)*2，由高精得到a=b*b*2;
处理a数组进位，更新b数组；
清空a数组；
1 #include<cstdio>
2 #include<iostream>
3 #include<cstring>
4 #include<cmath>
5 #include<algorithm>
6 using namespace std;
7 long long p,a[10005]={0},b[10005]={0};
8 void bigpow(long long n){
9 if(n==0) return;
10 bigpow(n/2);
11 if(n%2==0){
12 for(int i=1;i<=500;i++)
13 for(int j=1;j<=500;j++)
14 a[i+j-1]=a[i+j-1]+b[i]*b[j];
15 }
16 if(n%2==1){
17 for(int i=1;i<=500;i++)
18 for(int j=1;j<=500;j++)
19 a[i+j-1]=a[i+j-1]+b[i]*b[j]*2;
20 }
21 for(int i=1;i<=500;i++){
22 b[i]=a[i]%10;
23 a[i+1]=a[i+1]+a[i]/10;
24 }
25 memset(a,0,sizeof(a));
26 }
27 int main(){
28 ios::sync_with_stdio(false);
29 cin>>p;
30 cout<<(int)(p*log10(2)+1)<<endl;
31 b[1]=1;
32 bigpow(p);
33 for(int i=500;i>1;i--){
34 cout<<b[i];
35 if(i%50==1) cout<<endl;
36 }
37 cout<<b[1]-1<<endl;
38 return 0;
39 }