1. 基本概念
方向导数：是一个数；反映的是f(x,y)在P0点沿方向v的变化率。
偏导数：是多个数（每元有一个）；是指多元函数沿坐标轴方向的方向导数，因此二元函数就有两个偏导数。
偏导函数：是一个函数；是一个关于点的偏导数的函数。
梯度：是一个向量；每个元素为函数对一元变量的偏导数；它既有大小（其大小为最大方向导数），也有方向。
2. 方向导数
反映的是f(x,y)在P0点沿方向v的变化率。
例子如下：
2.0 方向导数计算公式
2.1 偏导数
2.2 二元函数偏导数的几何意义
2.3 偏导函数
偏导数与偏导函数的关系：
偏导数是偏导函数在指定点的函数值，因此在求偏导数时，也可先求出偏导函数，然后再将点代入偏导函数，从而求出函数在此点的偏导数。
3. 全微分
4. 梯度
梯度是一个向量；既有大小，也有方向。
4.1 几何意义
函数z=f(x,y)在点P0处的梯度方向是函数变化率(即方向导数)最大的方向。
梯度的方向就是函数f(x,y)在这点增长最快的方向，梯度的模为方向导数的最大值。
转自：http://blog.csdn.net/myarrow/article/details/51332421
刚接触梯度下降这个概念的时候，是在学习机器学习算法的时候，很多训练算法用的就是梯度下降，然后资料和老师们也说朝着梯度的反方向变动，函数值下降最快，但是究其原因的时候，很多人都表达不清楚。所以我整理出自己的理解，从方向导数这个角度把这个结论证明出来，让我们知其然也知其所以然~
下面我一开始不提梯度的概念，完全根据自己的理解进行下文的梳理，一步一步推出梯度的来历：
- 导数
导数的几何意义可能很多人都比较熟悉: 当函数定义域和取值都在实数域中的时候，导数可以表示函数曲线上的切线斜率。 除了切线的斜率，导数还表示函数在该点的变化率。
将上面的公式转化为下面图像为：
（来自维基百科）
直白的来说，导数代表了在自变量变化趋于无穷小的时候，函数值的变化与自变量变化的比值代表了导数，几何意义有该点的切线。物理意义有该时刻的（瞬时）变化率...
注意在一元函数中，只有一个自变量变动，也就是说只存在一个方向的变化率，这也就是为什么一元函数没有偏导数的原因。
- 偏导数
既然谈到偏导数，那就至少涉及到两个自变量，以两个自变量为例，z=f(x,y) . 从导数到偏导数，也就是从曲线来到了曲面. 曲线上的一点，其切线只有一条。但是曲面的一点，切线有无数条。
而我们所说的偏导数就是指的是多元函数沿坐标轴的变化率.
指的是函数在y方向不变，函数值沿着x轴方向的变化率
指的是函数在x方向不变，函数值沿着y轴方向的变化率
对应的图像形象表达如下：
那么偏导数对应的几何意义是是什么呢？
- 偏导数
就是曲面被平面
所截得的曲面在点
处的切线
对x轴的斜率 - 偏导数
就是曲面被平面
所截得的曲面在点处的切线
对y轴的斜率
就是曲面被平面
所截得的曲面在点
处的切线
对x轴的斜率
就是曲面被平面
所截得的曲面在点
对y轴的斜率可能到这里，读者就已经发现偏导数的局限性了，原来我们学到的偏导数指的是多元函数沿坐标轴的变化率，但是我们往往很多时候要考虑多元函数沿任意方向的变化率，那么就引出了方向导数.
- 方向导数
终于引出我们的重头戏了，方向导数，下面我们慢慢来走进它
假设你站在山坡上，相知道山坡的坡度（倾斜度）
山坡图如下：
假设山坡表示为
,你应该已经会做主要俩个方向的斜率.
y方向的斜率可以对y偏微分得到.
同样的，x方向的斜率也可以对x偏微分得到
那么我们可以使用这俩个偏微分来求出任何方向的斜率（类似于一个平面的所有向量可以用俩个基向量来表示一样）
现在我们有这个需求，想求出
方向的斜率怎么办.假设为一个曲面，
为
定义域中一个点，单位向量
的斜率，其中
是此向量与
轴正向夹角.单位向量可以表示对任何方向导数的方向.如下图：
那么我们来考虑如何求出
方向的斜率，可以类比于前面导数定义，得出如下：
设
为一个二元函数，为一个单位向量，如果下列的极限值存在
此方向导数记为
则称这个极限值是沿着方向的方向导数，那么随着的不同，我们可以求出任意方向的方向导数.这也表明了方向导数的用处，是为了给我们考虑函数对任意方向的变化率.
在求方向导数的时候，除了用上面的定义法求之外，我们还可以用偏微分来简化我们的计算.
表达式是：
（至于为什么成立，很多资料有，不是这里讨论的重点）
那么一个平面上无数个方向，函数沿哪个方向变化率最大呢？
目前我不管梯度的事，我先把表达式写出来：
设
,
那么我们可以得到：
(
为向量
与向量
之间的夹角)
那么此时如果
要取得最大值，也就是当为0度的时候，也就是向量（这个方向是一直在变，在寻找一个函数变化最快的方向）与向量（这个方向当点固定下来的时候，它就是固定的）平行的时候，方向导数最大.方向导数最大，也就是单位步伐，函数值朝这个反向变化最快.
好了，现在我们已经找到函数值下降最快的方向了，这个方向就是和向量相同的方向.那么此时我把A向量命名为梯度（当一个点确定后，梯度方向是确定的），也就是说明了为什么梯度方向是函数变化率最大的方向了！！！（因为本来就是把这个函数变化最大的方向命名为梯度）
我的理解是，本来梯度就不是横空出世的，当我们有了这个需求（要求一个方向，此方向函数值变化最大），得到了一个方向，然后这个方向有了意义，我们给了它一个名称，叫做梯度（纯个人理解~希望对大家理解有帮助）欢迎知友提出问题交流~
转自：https://zhuanlan.zhihu.com/p/24913912