最短路问题是图论中的经典问题，求解单源最短路问题可以采用dijkstra算法，时间复杂度O（n^2），使用堆优化后可以达到O(nlogn)。在稀疏图中也可用spfa算法，并不比dijkstra算法表现的差。当然如果有负权值回路，dijkstra就只能GG了！求解全图中任意两点的最短路径还可以用floyd算法，时间复杂度O（n^3），虽然复杂度较高，但在需要的时候该算法也可表现的很好。求两点间的最短路径则可以通过深搜或广搜实现，时间复杂度O（m）。
当然最短路问题可以有很多变形，比如下面几道题。
Problem 1：[luogu P2384] 最短路
题目描述
给定n个点的带权有向图，求从1到n的路径中边权之积最小的简单路径。
输入输出格式
输入格式：
第一行读入两个整数n，m，表示共n个点m条边。 接下来m行，每行三个正整数x，y，z，表示点x到点y有一条边权为z的边。
输出格式：
输出仅包括一行，记为所求路径的边权之积，由于答案可能很大，因此你输出它模9987的余数即可。
输入输出样例
输入样例#1：
3 3 1 2 3 2 3 3 1 3 10
输出样例#1：
9
说明
对于20%的数据，n<=10。
对于100%的数据，n<=1000，m<=1000000。边权不超过10000。
本题是最短路径的变形，我们可以用类比法，用更新边权加和的策略来更新边权乘积，由于本题数据较水，裸spfa即可通过。
1 #include <cstdio>
2 #include <iostream>
3 #include <algorithm>
4 using namespace std;
5
6 int n,m,l,pre[1000005],last[1005],other[1000005];
7 int que[1000005];
8 long long len[1000005],d[1000005];
9 bool vis[1000005];
10
11 void add(int u,int v,int r) {
12 pre[++l]=last[u];
13 last[u]=l;
14 other[l]=v;
15 len[l]=r;
16 }
17
18 int main() {
19 scanf("%d%d",&n,&m);
20 for (int i=1; i<=m; i++) {
21 int x,y,z;
22 scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
23 add(x,y,z);
24 add(y,x,z);
25 }
26 for (int i=1; i<=n; i++) d[i]=2147483647;
27 d[1]=1;
28 que[1]=1;
29 int h=0, t=1;
30 while (h<t) {
31 int cur=que[++h];
32 vis[cur]=0;
33 for (int p=last[cur]; p ;p=pre[p]) {
34 int q=other[p];
35 if (d[q]>d[cur]*len[p]) {
36 d[q]=d[cur]*len[p];
37 if (!vis[q]) {
38 vis[q]=1;
39 que[++t]=q;
40 }
41 }
42 }
43 }
44 printf("%lld",d[n]);
45 return 0;
46 }
Problems 2：[福建省历届夏令营] 房间最短路问题
题目描述
在一个长宽均为10，入口出口分别为（0，5）、（10，5）的房间里，有几堵墙，每堵墙上有两个缺口，求入口到出口的最短路经。
输入输出格式
输入格式：
第一排为n(n<=20)，墙的数目。
接下来n排，每排5个实数x，a1，b1，a2，b2。
x表示墙的横坐标（所有墙都是竖直的），a1-b1和a2-b2之间为空缺。
a1、b1、a2、b2保持递增，x1-xn也是递增的。
输出格式：
输出最短距离，保留2位小数。
输入输出样例
输入样例#1：
2 4 2 7 8 9 7 3 4.5 6 7
输出样例#1：
10.06 本题属于比较简单的最短路建模问题。不难发现沿着墙角与墙角之间的直线走是最优的。把图中所有点都找出（墙角的点和起点终点），两两建边（当两点连线不被墙隔开时）。跑一边最短路即可求解。
1 #include <cstdio>
2 #include <iostream>
3 #include <algorithm>
4 #include <cmath>
5 using namespace std;
6
7 int n,tot,l,pre[100050],last[100050],other[100050],que[100050];
8 bool vis[100050];
9 double x[1050],y[1050];
10 double xx[25],a[25],b[25],c[25],d[25],len[100050],dis[100050];
11
12 double minn(double x,double y) {
13 if (x>y) return y;
14 return x;
15 }
16
17 double maxx(double x,double y) {
18 if (x<y) return y;
19 return x;
20 }
21
22 void add(int u,int v,double r) {
23 pre[++l]=last[u];
24 last[u]=l;
25 other[l]=v;
26 len[l]=r;
27 }
28
29 int main() {
30 scanf("%d",&n);
31 for (int i=1; i<=n; i++) {
32 scanf("%lf %lf %lf %lf %lf",&xx[i],&a[i],&b[i],&c[i],&d[i]);
33 tot++;
34 x[tot]=xx[i];
35 y[tot]=a[i];
36 tot++;
37 x[tot]=xx[i];
38 y[tot]=b[i];
39 tot++;
40 x[tot]=xx[i];
41 y[tot]=c[i];
42 tot++;
43 x[tot]=xx[i];
44 y[tot]=d[i];
45 }
46 int s=++tot; x[s]=0; y[s]=5;
47 int t=++tot; x[t]=10; y[t]=5;
48 for (int i=1; i<=tot; i++) {
49 for (int j=1; j<=tot; j++) {
50 if (i==j) continue;
51 if (x[i]==x[j]) {
52 for (int k=1; k<=n; k++) {
53 if (xx[k]==x[i]) {
54 if ((y[i]==a[k] && y[j]==b[k]) || (y[i]==b[k] && y[j]==a[k]) || (y[i]==c[k] && y[j]==d[k]) || (y[i]==d[k] && y[j]==c[k])) {
55 double length=sqrt((x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])+(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j]));
56 add(i,j,length);
57 break;
58 }
59 }
60 }
61 continue;
62 }
63 bool f=0;
64 for (int k=1; k<=n; k++) {
65 if (xx[k]<=minn(x[i],x[j])) continue;
66 if (xx[k]>=maxx(x[i],x[j])) break;
67 double p=(xx[k]-x[j])*(y[i]-y[j])/(x[i]-x[j])+y[j];
68 if ((p>=0 && p<=a[k]) || (p>=b[k] && p<=c[k]) || (p>=d[k])) {
69 f=1;
70 break;
71 }
72 }
73 if (!f) {
74 double length=sqrt((x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])+(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j]));
75 add(i,j,length);
76 }
77 }
78 }
79 for (int i=1; i<=tot; i++) dis[i]=2147483637;
80 dis[s]=0;
81 que[1]=s;
82 int he=0,ta=1;
83 while (he<ta) {
84 int cur=que[++he];
85 vis[cur]=0;
86 for (int p=last[cur]; p ;p=pre[p]) {
87 int q=other[p];
88 if (dis[q]>dis[cur]+len[p]) {
89 dis[q]=dis[cur]+len[p];
90 if (!vis[q]) {
91 vis[q]=1;
92 que[++ta]=q;
93 }
94 }
95 }
96 }
97 printf("%.2lf",dis[t]);
98 return 0;
99 }
Problem 3：[luogu P1144] 最短路计数
题目描述
给出一个N个顶点M条边的无向无权图，顶点编号为1～N。问从顶点1开始，到其他每个点的最短路有几条。
输入输出格式
输入格式：
输入第一行包含2个正整数N，M，为图的顶点数与边数。
接下来M行，每行两个正整数x, y，表示有一条顶点x连向顶点y的边，请注意可能有自环与重边。
输出格式：
输出包括N行，每行一个非负整数，第i行输出从顶点1到顶点i有多少条不同的最短路，由于答案有可能会很大，你只需要输出mod 100003后的结果即可。如果无法到达顶点i则输出0。
输入输出样例
输入样例#1：
5 7 1 2 1 3 2 4 3 4 2 3 4 5 4 5
输出样例#1：
1 1 1 2 4
说明
1到5的最短路有4条，分别为2条1-2-4-5和2条1-3-4-5（由于4-5的边有2条）。
对于20%的数据，N ≤ 100；
对于60%的数据，N ≤ 1000；
对于100%的数据，N ≤ 100000，M ≤ 200000。
本题属于求最短路方案数的问题，在能转移的状态下记下转移数，累加即可得解。本题数据较大，建议用dijkstra+堆优化。
1 #include <cstdio>
2 #include <iostream>
3 #include <algorithm>
4 #include<iostream>
5 #include<vector>
6 #include<cstring>
7 #include<queue>
8 using namespace std;
9 const int maxn=100005;
10 vector<int> G[maxn];
11 int d[maxn],ans[maxn];
12 int main() {
13 int n,m;
14 scanf("%d%d",&n,&m);
15 for(int i=0,x,y;i<m;i++) {
16 scanf("%d%d",&x,&y);
17 G[x].push_back(y);
18 G[y].push_back(x);
19 }
20 queue<int> q;
21 memset(d,-1,sizeof(d));
22 d[1]=0;
23 ans[1]=1;
24 q.push(1);
25 while(!q.empty()) {
26 int u=q.front();
27 q.pop();
28 for(int i=0;i<G[u].size();i++) {
29 int v=G[u].at(i);
30 if(d[v]==-1) {
31 d[v]=d[u]+1;
32 ans[v]=ans[u];
33 q.push(v);
34 } else {
35 if(d[v]==d[u]+1) {
36 ans[v]+=ans[u];
37 ans[v]%=100003;
38 }
39 }
40 }
41 }
42 for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",ans[i]);
43 return 0;
44 }