首先我们先介绍一下普通的插排，就是我们现在一般写的那种，效率是O(n^2)的。
普通的插排基于的思想就是找位置，然后插入进去，其他在它后面的元素全部后移，下面是普通插排的代码：
1 #include<iostream>
2 #include<fstream>
3 #include<stdio.h>
4 using namespace std;
5 int a[200000];
6 int p[200000];
7
8 int main(){
9 ios::sync_with_stdio(false);
10 int n;
11 cin>>n;
12 for(int i=1;i<=n;i++){
13 cin>>a[i];
14 }
15 int len = 1;
16 p[len] = a[1];
17 for(int i=2;i<=n;i++){ //插入第i个元素
18 int k = a[i];
19 int j;
20 for(j=len;j>=1;j--){
21 if(k < p[j]){
22 p[j+1] = p[j];
23 }else
24 break;
25 }
26 p[j+1] = k;
27 len++;
28 }
29 for(int i=1;i<=n;i++)
30 cout<<p[i]<<" ";
31 return 0;
32 }
可以看出，这个代码的复杂度应该是T((1+n)*n/2)=O(n^2)的，让我们仔细分析到底时间费在哪里。
1.查找过程太费时间，仔细观察我们就可以发现，查找它应当插入元素的位置的时间是O(n)的，我们可以想办法优化成O(log2n)，没错，二分查找，于是我们写出了下面这份代码。
1 #include<iostream>
2 #include<cstdio>
3 #include<cstdlib>
4 #include<vector>
5 #include<algorithm>
6 using namespace std;
7 int a[200000];
8 vector <int> vec;
9
10 int main(){
11 ios::sync_with_stdio(false);
12 int n;
13 cin >> n;
14 for(int i =1;i<=n;i++)
15 cin>>a[i];
16 vec.push_back(a[1]);
17 for(int i=2;i<=n;i++){
18 int k=a[i];
19 int j=lower_bound(vec.begin(),vec.end(),k)-vec.begin();
20 vec.insert(vec.begin()+j,k); //这是O(n)的
21 }
22 for(int i=0;i<n;i++){
23 cout<<vec[i]<<" ";
24 }
25 return 0;
26 }
显然，这份代码的复杂度，应该是T(n*(log2n+n))=O(n^2)的，但是有一点好的，就是不会被某些专门卡插排的数据卡。
我们再分析一下另一个耗时间的地方。
2.将所有元素前移的时间的上界是O(n)的，我们也要想办法优化到O(logn)。若我们只针对这一点优化，那么我们可以想到一种比O(logn)更快的数据结构来优化这一点，链表。
如果我们用链表来储存，我们完全没必要将元素前移，只要连接起来，是O(1)的。不难写出下面这份代码
1 #include<iostream>
2 #include<cstdio>
3 #include<cstdlib>
4 #include<cstring>
5 using namespace std;
6 struct node{
7 int data;
8 node* next;
9 };
10 node *start=new node,*end = new node;
11 int a[200000];
12
13 int main(){
14 end->data = -1;
15 ios::sync_with_stdio(false);
16 int n;
17 cin >> n;
18 for(int i=1;i<=n;i++)
19 cin>>a[i];
20 start->next = end;
21 for(int i=1;i<=n;i++){
22 int k=a[i];
23 node *p = start;
24 while(p->next!=end&&p->next->data < k)
25 p = p->next;
26 node *q = p->next;
27 node *now = new node;
28 now->data = k;
29 now->next = q;
30 p->next = now;
31 }
32 node *p =start->next;
33 while(p!=end){
34 cout<<p->data<<" ";
35 p = p->next;
36 }
37 return 0;
38 }
显然，这份代码也是O(n^2)的，慢在哪了？又是查找。
所以我们现在要做的事，就是把二分融合在链表里面，这就设下了一个大难关，但是，对数级的优化又启发了我们，我们必须在有限的次数(可以预知)内筛掉一半以上的数。
我们不妨考虑一个简化版的问题：给定n个有序的元素，现在要插入1个元素，用链表实现，效率是O(logn)怎么搞。
对这个问题，我有两个方法：
法1：在读入的时候预处理每个点到另一个点的中点的位置，空间复杂度高达O(n^2)，铁定MLE。我们不得不另寻他法
法2：我们不妨分层存储，比如对于一个8个元素的链表，我们可以设计出以下数据结构：
显然，层数是log2n层的，每一层的元素个数都是上一层的1/2，那么我们的查找显然是O(logn)的，我们从最顶上一层开始找，如果下一个不是我想要的，那么就排掉了一半，往下面走，以此类推。
这样的空间复杂度是O(n)的，显然第一层是有n个元素，此外每一层的元素个数都是上一层的1/2，回忆二叉树的知识，若我们在最上面再补一层，那么就有n+n-1=2n-1，那么再减去刚才补上的一层，就是2n-2个元素，所以空间复杂度是O(n)的。
推广这个问题，我们可以发现，这样子只能对某个固定的链表使用，而不能动态地更改，于是我们就想到了随机数。对每个元素，我们有1/2的几率让它成为上面一层的元素，这样的话每层元素的期望也就跟这个差不多，可以证明，这样做插入的复杂度是O(logn)<-递归log2n层，查找的复杂度也是O(logn)，那么插入排序的复杂度就变成了O(nlogn)，下面是代码:
1 #include<iostream>
2 #include<cstdio>
3 #include<cstdlib>
4 #include<ctime>
5 #include<cstring>
6 using namespace std;
7 struct node{
8 int data;
9 int level; //所在层数
10 node* under; //下一层的相同结点
11 node* next;
12 };
13 struct llist{ //level of list
14 int level;
15 node* start;
16 llist(){
17 start = new node;
18 start->data = -1;
19 }
20 };
21 int siz[200]; //定义为一个天文数字
22 int a[200000];
23 int log2(int);
24 node* end = new node;
25 int top = 1; //表示层数
26 llist le[200];
27 int want,n;
28 int insert(int now,int lev,node* place,node *last = NULL){
29 node *f = place;
30 while(f->next->data < now && f->next!=end)
31 f = f->next;
32 if(lev != 1){
33 int pd = insert(now,lev-1,f->under,f);
34 if(pd == true){
35 siz[lev]++;
36 int trid = rand()%2;
37 if(trid == 1){
38 node* p = f->next;
39 node *q = new node;
40 q->data = p->data;
41 q->level = p->level+1;
42 q->under = p;
43 if(last!=NULL){
44 q->next = last->next;
45 last->next = q;
46 }else{
47 q->next = end;
48 le[lev+1].start->next = q;
49 }
50 if(siz[lev+1] == 0)
51 top = lev+1;
52 siz[lev+1] = 1;
53 return true;
54 }
55 }else
56 return false;
57 }else{
58 siz[1]++;
59 node *p = new node;
60 p->level = 1;
61 p->data = now;
62 p->next = f->next;
63 f->next = p; //移花接木
64 int trid = rand()%2;
65 if(trid == 1&&lev<want){
66 node *q = new node;
67 q->data = p->data;
68 q->level = p->level+1;
69 q->under = p;
70 if(last!=NULL){
71 q->next = last->next;
72 last->next = q;
73 }else{
74 q->next = end;
75 le[lev+1].start->next = q;
76 }
77 if(siz[lev+1] == 0)
78 top = lev+1;
79 siz[lev+1]++;
80 return 1;
81 }else
82 return 0;
83 }
84 }
85
86 int main(){
87 freopen("sort.in","r",stdin);
88 freopen("sort.out","w",stdout);
89 srand(time(NULL));
90 end->data = 2147483647;
91 end->level = -1; //确认身份
92 ios::sync_with_stdio(false);
93 cin >> n;
94 want = log2(n);
95 for(int i=1;i<=want;i++){
96 le[i].level = i;
97 le[i].start->level = i;
98 le[i].start->next = end;
99 if(i!=1){
100 le[i].start->under = le[i-1].start;
101 }
102 }
103 for(int i=1;i<=n;i++)
104 cin>>a[i];
105 node* q = new node;
106 q->data = a[1];
107 q->next = end;
108 le[1].start->next = q; //为第一层加上一个结点
109 siz[1]++;
110 for(int i=2;i<=n;i++){
111 insert(a[i],top,le[top].start); //插 ♂入 a[i]
112 }
113 node *p = le[1].start;
114 p = p->next;
115 while(p!=end){
116 cout<<p->data<<" ";
117 p = p->next;
118 }
119 return 0;
120 }
121
122 int log2(int n){
123 int val = 1,k = 0;
124 while(val*2 < n){
125 k++;
126 val*=2;
127 }
128 return k+1;
129 }
多美妙的代码啊。
下面是它与其它几种排序方法在时间上的比较：
首先是对于测试点的说明：
对于测试点1：n=100000，专门卡插入排序的测试点，因为是从小到大排序所以自然是从大到小的数据喽。
对于测试点2：n=1000，数据随机。基本上都能过
对于测试点3：n=10000，数据随机。卡卡常还是能过
对于测试点4：n=50000，数据随机。理论上分块能过，人懒就没写分块。
对于测试点5：n=100000，数据随机。只有O(nlogn)能过
STL都跑得快，最慢的跑了0.09秒。heap_sort最慢的0.24秒。插排优化最慢的0.43秒(常数略大)。
普通插排最慢的32.18秒，被第一个点卡了。链表插排没过最后一个点(常数太大)。
还有一个我删了的是二分优化的普通插排(数组实现O(n^2))，最慢的跑了3秒。
下面是一道实战题，丑数（USACOtraining 第三章）
对于一给定的素数集合 S = {p1, p2, ..., pK},
来考虑那些质因数全部属于 S 的数的集合.这个集合包括,p1, p1p2, p1p1, 和 p1p2p3 (还有其它).
这是个对于一个输入的 S 的丑数集合.
注意:我们不认为 1 是一个丑数.
你的工作是对于输入的集合 S 去寻找集合中的第 N 个丑数.longint(signed 32-bit)对于程序是足
够的.
程序名: humble
读入说明：
第 1 行: 二个被空间分开的整数:K 和 N , 1<= K<=100 , 1<= N<=100,000.
第 2 行: K 个被空间分开的整数:集合 S 的元素
样例读入 (文件名 humble.in)
4 19
2 3 5 7
输出说明
单独的一行,写上对于输入的 S 的第 N 个丑数.
样例输出 (文件名 humble.out)
27
对于这道题，我们容易想到的一种做法是用堆来做，代码我就不贴了（其实就是我删了懒得重打了）。容易证明，这样做的复杂度是O(2^(k)*k*n)的，空间也是会爆掉的，所以这样做不行。
我们试着改变它，因为它是求第n小，所以假设一个由丑数构成的序列大于100000个元素，那么大于100,000的元素必然不可能是我想要的丑数(借用刘汝佳的一句话：想一想，为什么)。那么我们可以构建一个ans链表，来储存目前枚举出的每一个丑数，初始状态，ans数组仅有S集合中的元素，然后我们扫描一遍，求第n小，我们可以每次把当前第一小的数字出链表，同时加入它与它后面的数的乘积入链表(想一想为什么不加入它和前面的乘积，或者它和后面好几个的乘积)，这个的复杂度显然是O(k*logn)的，如果这个链表大小超过了n，那么就砍尾巴喽。那么这个的复杂度就是O(n*k*logn)，卡卡常还是能过的嘛。（毕竟是USACO，没像NOIP那样为难oier）。代码的话，我不会打！！！！毕竟这么晚了，改天有空了我会把代码补上。放心这次不会和前面那个三分，莫比乌斯一样烂尾的！