浮点数问题

（1）浮点数是有理数的集合，有些有理数不能表示，会有舍去误差如0.1等。

（2）浮点数可以表示的连续整数也是有限的。

有些脚本语言，比如awk，lua中都是使用浮点数来存储整数的，也就是说，我们在语言中使用的整数，在语言内部是使用浮点数来表示的。我们知道，浮点数的运算中通常存在着一定的误差，所以整数是否能被浮点数精确表示呢？答案是可以，不过不是所有范围的整数都可以被精确的表示。由于浮点数精度的问题，所以浮点数的分布也就呈现出非均匀分布。

先简单介绍一下一个常用的浮点数在计算机中的组成，最常用的浮点数表示法是IEEE754标准，对于这个标准，可以参考[1]

上面就是常用浮点数的表示了，通常sign占用1bit，对于单精度浮点数exponent占用8bits，significand占用23bits。由于IEEE754使用规格化浮点数，所以尾数的最高位必然为1，所以没必要存储，于是有一个隐藏位(hidden bit)，所以尾数真正的有效位数为24bits。有兴趣的读者可以参考[1]，其中有详细介绍。

当用浮点数来表示整数时，我们要得到连续的整数分布，肯定希望尾数的精度越高越好。很显然，尾数位数有限制，也就限制了能表示的最大的整数的值。对于一个浮点数，设p为其尾数的有效位数（这里p包含一个hidden bit），那么最大的尾数就是1 + 1 - 2^(-p+1)，所以最大的整数为(2-2^(-p+1)) * 2^(p-1) = 2^p - 1。由于浮点数是有符号的，所以很自然的我们想到整数范围为[-2^p – 1, 2^p – 1]。可是我们还遗漏了2个数，就是2^p和-2^p。我们来看这两个整数的浮点数表示。规格化后，2^p = (1.0000…000) * 2^p，其中尾数部分小数点后有p个0。但是我们知道，我们的尾数最多只能存储p - 1个，其中一个是hidden bit，但是很巧，由于被舍去的最后一个数字是0，所以不影响实际取值，所以2^p就可以精确表示了。同理-2^p也是如此。

注意，可能有读者会想到，既然1.00..000*2^p可以精确表示，那么很显然，对于单精度浮点数p=24，而指数的可表示范围远大于24，是8-bit，也就是可以到达+127，那么为什么2^p就是可以表示的最大整数呢。因为我们只关心连续的整数范围，2^(p+1)的确可以精确表示，但是[2^p, 2^(p+1)]之间还有许多数就无法表示了，因为尾数不够。

所以对于IEEE754 单精度和双精度浮点数，能够精确表示的整数的范围为

以下代码测试了一下两种浮点数的边界条件（运行环境为VC9）：

[cpp] view plaincopyprint?

1. #include <cassert>
2. int main()
3. {
4. const int max_decimal = 16777216; // 2^24
5. assert(static_cast<int>(static_cast<float>(max_decimal)) == max_decimal);
6. assert(static_cast<int>(static_cast<float>(max_decimal + 1)) != max_decimal + 1);
7. assert(static_cast<int>(static_cast<float>(-max_decimal)) == -max_decimal);
8. assert(static_cast<int>(static_cast<float>(-max_decimal - 1)) != -max_decimal - 1);
9. const __int64 max_decimald = 9007199254740992; // 2^53
10. assert(static_cast<__int64>(static_cast<double>(max_decimald)) == max_decimald);
11. assert(static_cast<__int64>(static_cast<double>(max_decimald + 1)) != max_decimald + 1);
12. assert(static_cast<__int64>(static_cast<double>(-max_decimald)) == -max_decimald);
13. assert(static_cast<__int64>(static_cast<double>(-max_decimald - 1)) != -max_decimald - 1);
14. }