动态规划总结

动态规划通常应用于最优化问题，即要做出一组选择以达到一个最优解。在做选择的同时，经常出现同样形式的子问题。当某一特定的子问题可能出自于多于一种选择的集合时，动态规划是很有效的。关键技术是存储这些子问题每一个的解，以备它重复出现。

和分治法一样，动态规划是通过组合子问题的解而解决整个问题的。动态规划适用于子问题不是独立的情况，也就是各子问题包含公共的子子问题。动态规划算法对每个子子问题只求解一次，将其结果保存在一张表中，从而避免每次遇到各个子问题时重新计算答案。

　　动态规划通常应用于最优化问题。此类问题可能有很多种可行解。每个解有一个值，而我们希望找出一个具有最优值的解。称这样的解为该问题的"一个"最优解。

　　动态规划算法的设计可以分为如下4个步骤：

　　1)描述最优解的结构。

　　2)递归定义最优解的值。

　　3)按自底向上的方式计算最优解的值。

　　4)由计算出的结果构造一个最优解。

题目一：

　　装配线调度问题。

　　步骤1：通过工厂最快路线的结构

　　动态规划方法的第一个步骤是描述最优解的结构的特征。对于装配线调度问题，可以如下执行。考虑底盘从起始点到装配站S_1,j 的最快可能路线。如果j=1，则底盘能走的只有一条路线，所以很容易就可以确定它到装配站S_1,j 花费了多少实际时间。对于j=2,3,...,n，则有两种选择：这个底盘可能从装配站S_1,j-1 直接到装配站 S_1,j ，在相同的装配线上，从装配站j-1到j的时间是可以忽略的。或者，这个底盘可能来自装配站S_2,j-1，然后再移动到装配站S_1,j ，移动的代价是t_{2,j-1 。}我们将分别考虑这两种可能性，后面可以看到它们之间其实有很多共性的。（找到递推公式）

　　首先，假设通过装配站S_1,j 的最快路径通过了装配站S_{1,j -1。}关键的一点是这个底盘必定是利用了最快的路线从开始点到装配站S_{1,j -1。}

　　类似地，假设通过装配站S_1,j 的最快路径通过了装配站S_{2,j -1。}

　　更一般地，对于装配线调度问题，一个问题的(找出装配站S_i,j 的最快路线)的最优解包含了子问题(找出通过S_{1,j -1}S_{2,j -1} 的最快路线)的一个最优解。我们称这个性质为最优子结构，这是是否可以应用动态规划方法的标志之一。

　　下面利用最优子结构来说明：观察一条通过装配站S_1,j的最快路线，会发现它必定是经过装配线1或2上的装配站j-1.因此，通过装配站S_1,j的最快线路只能是一下二者之一：

　　通过装配站S_{1,j -1}的最快线路，然后直接通过装配站S_{1,j 。}

　　通过装配站S_{2,j -1}的最快线路，从装配线2移动到装配线1，然后通过装配站S_1,j 。

　　利用对称的推理思想，通过装配站S_2,j的最快路线，也只能是二者之一。

　　通过装配站S_{2,j -1}的最快线路，然后直接通过装配站S_{2,j 。}

　　通过装配站S_{1,j -1}的最快线路，从装配线1移动到装配线2，然后通过装配站S_2,j 。

　　为了解决这个问题，即寻找通过任一条装配线上的装配站j的最快路线，我们解决它的子问题，即寻找通过两条装配线上的装配站j-1的最快路线。

　　所以，对于装配线调度问题，通过建立子问题的最优解，就可以建立原问题某个实例的一个最优解了。

　　步骤2：一个递归的解

　　在动态规划方法中，第二个步骤是利用子问题的最优解来递归定义一个最优解的值。对于装配线的调度问题，对于装配线的调度问题，我们选择在两条装配线上通过装配站j的最快线路作为子问题，j=1，2...，n。令f_i[j]表示一个底盘从起点到装配站S_1,j的最快可能时间。

　　我们的最终目标是确定底盘通过工程的所有路线的最快时间，记为f*。底盘必须一路经由装配线1或2通过装配站n，然后到达工厂的出口。所以：

　　f* = min{f₁[j] + x₁, f₂[j] + x₂}

　　然后开始考虑边界条件。

　　要对f₁[1] 和f₂[2]进行推理也很容易的。不管在哪一条装配线上通过装配站1，底盘都是直接到达该装配站的。于是

　　f₁[1] = e1 + a_1,1

　　f₂[2] = e2 + a_2,1

　　正式考虑：

　　现在来考虑如何计算f₁[j]，其中j=2，3，...，n(i = 1,2)。

　　第一种情况f₁[j] = f₁[j - 1] + a_1,j

　　第二种情况f₁[j] = f₂[j - 1] + t_2,j-1 + a_1,j

　　同理：

　　对于第二条装配线：　

　　第一种情况f₂[j] = f₂[j - 1] + a_1,j

　　第二种情况f₂[j] = f₁[j - 1] + t_1,j-1 + a_2,j

考虑边际情况和一般情况后得出递归公式：

　　略