题目链接:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1045
题解:
完全不求知怎么推导,于是引用hzw大犇的题解:
首先,最终每个小朋友的糖果数量可以计算出来,等于糖果总数除以n,用ave表示。
假设标号为i的小朋友开始有Ai颗糖果,Xi表示第i个小朋友给了第i-1个小朋友Xi颗糖果,如果Xi<0,说明第i-1个小朋友给了第i个小朋友Xi颗糖果,X1表示第一个小朋友给第n个小朋友的糖果数量。 所以最后的答案就是ans=|X1| + |X2| + |X3| + ……+ |Xn|。
对于第一个小朋友,他给了第n个小朋友X1颗糖果,还剩A1-X1颗糖果;但因为第2个小朋友给了他X2颗糖果,所以最后还剩A1-X1+X2颗糖果。根据题意,最后的糖果数量等于ave,即得到了一个方程:A1-X1+X2=ave。
同理,对于第2个小朋友,有A2-X2+X3=ave。最终,我们可以得到n个方程,一共有n个变量,但是因为从前n-1个方程可以推导出最后一个方程,所以实际上只有n-1个方程是有用的。
尽管无法直接解出答案,但可以用X1表示出其他的Xi,那么本题就变成了单变量的极值问题。
对于第1个小朋友,A1-X1+X2=ave -> X2=ave-A1+X1 = X1-C1(假设C1=A1-ave,下面类似)
对于第2个小朋友,A2-X2+X3=ave -> X3=ave-A2+X2=2ave-A1-A2+X1=X1-C2
对于第3个小朋友,A3-X3+X4=ave -> X4=ave-A3+X3=3ave-A1-A2-A3+X1=X1-C3
……
对于第n个小朋友,An-Xn+X1=ave。
我们希望Xi的绝对值之和尽量小,即|X1| + |X1-C1| + |X1-C2| + ……+ |X1-Cn-1|要尽量小。注意到|X1-Ci|的几何意义是数轴上的点X1到Ci的距离,所以问题变成了:给定数轴上的n个点,找出一个到他们的距离之和尽量小的点,而这个点就是这些数中的中位数,证明略。
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 using namespace std; 4 #define MAXN 10000000 5 int n,ave,a[MAXN],c[MAXN]; 6 long long sum,ans; 7 int main() 8 { 9 scanf("%d",&n); 10 for(int i=1;i<=n;i++) 11 { 12 scanf("%d",&a[i]); 13 sum+=a[i]; 14 } 15 ave=sum/n; 16 for(int i=2;i<=n;i++) 17 { 18 c[i]=c[i-1]+a[i]-ave; 19 } 20 sort(c+1,c+n+1); 21 int mid=c[(n>>1)+1]; 22 for(int i=1;i<=n;i++) 23 ans+=abs(c[i]-mid); 24 printf("%lld",ans); 25 return 0; 26 }