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梯度下降法又叫最速下降法，英文名为steepest descend method.估计搞研究的人应该经常听见这个算法吧，用来求解表达式最大或者最小值的，属于无约束优化问题。
首先我们应该清楚，一个多元函数的梯度方向是该函数值增大最陡的方向。具体化到1元函数中时，梯度方向首先是沿着曲线的切线的，然后取切线向上增长的方向为梯度方向，2元或者多元函数中，梯度向量为函数值f对每个变量的导数，该向量的方向就是梯度的方向，当然向量的大小也就是梯度的大小。
现在假设我们要求函数的最值，采用梯度下降法，如图所示：
梯度下降法的基本思想还是挺简单的，现假设我们要求函数f的最小值，首先得选取一个初始点后，然后下一个点的产生时是沿着梯度直线方向，这里是沿着梯度的反方向(因为求的是最小值，如果是求最大值的话则沿梯度的方向即可)。梯度下降法的迭代公式为：
其中
表示的是梯度的负方向， 
表示的是在梯度方向上的搜索步长。梯度方向我们可以通过对函数求导得到，步长的确定比较麻烦，太大了的话可能会发散，太小收敛速度又太慢。一般确定步长的方法是由线性搜索算法来确定，即把下一个点的坐标ak+1看做是的函数，然后求满足f(ak+1)的最小值的 即可。
因为一般情况下，梯度向量为0的话说明是到了一个极值点，此时梯度的幅值也为0.而采用梯度下降算法进行最优化求解时，算法迭代的终止条件是梯度向量的幅值接近0即可，可以设置个非常小的常数阈值。
下面是网上下的一个求2元函数最小值的matlab函数实现代码，在上面添加了少许注释。代码中关于步长的计算公式还是没有弄很清楚，用到了hessian矩阵，有点像牛顿法，先不管了，以后有时候慢慢研究。
1 function y=fs2steep(f,e,a,b) %返回的是点坐标的2个分量 2 % fs2steep函数 最速下降法 3 % x=fs2steep(f,e,a,b)为输入函数 f为函数 e为允许误差 (a,b)为初始点; 4 % fsx TJPU 2008.6.15 5 x1=a;x2=b; 6 Q=fs2hesse(f,x1,x2); 7 x0=[x1 x2]‘; 8 fx1=diff(f,‘x1‘); %对x1求偏导数 9 fx2=diff(f,‘x2‘); %对x2求偏导数 10 g=[fx1 fx2]‘; %梯度 11 g1=subs(g); %把符号变量转为数值 12 d=-g1;%d为搜索方向 13 while (abs(norm(g1))>=e) %norm(g1)为g1的2范数，即sqrt(x1^2+x2^2)，因为梯度其各分量=0，所以其梯度幅值=0 14 t=(-d)‘*d/((-d)‘*Q*d);%求搜索步长，方法是？ 15 x0=x0-t*g1; %搜索到的点 16 v=x0; 17 a=[1 0]*x0; 18 b=[0 1]*x0; 19 x1=a; 20 x2=b; 21 Q=fs2hesse(f,x1,x2); 22 x0=[x1 x2]‘; 23 fx1=diff(f,‘x1‘); %对x1求偏导数 24 fx2=diff(f,‘x2‘); %对x2求偏导数 25 g=[fx1 fx2]‘; %梯度 26 g1=subs(g); 27 d=-g1; 28 end; 29 y=v; 30 31 function x=fs2hesse(f,a,b) 32 % fs2hesse函数 求函数的hesse矩阵； 33 % 本程序仅是简单的求二次函数的hesse矩阵！； 34 % x=fs2hesse(f)为输入函数 f为二次函数 x1,x2为自变量； 35 % fsx TJPU 2008.6.15 36 x1=a;x2=b; 37 fx=diff(f,‘x1‘); %求f对x1偏导数 38 fy=diff(f,‘x2‘); %求f对x2偏导数 39 fxx=diff(fx,‘x1‘); %求二阶偏导数 对x1再对x1 40 fxy=diff(fx,‘x2‘); %求二阶偏导数 对x1再对x2 41 fyx=diff(fy,‘x1‘); %求二阶偏导数 对x2再对x1 42 fyy=diff(fy,‘x2‘); %求二阶偏导数 对x2再对x2 43 fxx=subs(fxx); %将符号变量转化为数值 44 fxy=subs(fxy); 45 fyx=subs(fyx); 46 fyy=subs(fyy); 47 x=[fxx,fxy;fyx,fyy]; %求hesse矩阵
在matlab命令行窗口验证函数，结果如下：
最优化应用很广，有很多东西要学，且自己对matlab编程还不熟悉，以后慢慢积累吧！