[codevs2185]最长公共上升子序列

试题描述

熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列，再让他们研究了最长公共子序列，现在又让他们要研究最长公共上升子序列了。
小沐沐说，对于两个串A，B，如果它们都包含一段位置不一定连续的数字，且数字是严格递增的，那么称这一段数字是两个串的公共上升子串，而所有的公共上升子串中最长的就是最长公共上升子串了。
奶牛半懂不懂，小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子串。不过，只要告诉奶牛它的长度就可以了。

输入

第一行N，表示A，B的长度。
第二行，串A。
第三行，串B。

输出

输出长度。

输入示例

4
2 2 1 3
2 1 2 3

输出示例

2

数据规模及约定

1<=N<=3000，A，B中的数字不超过maxlongint

题解

首先果断想一个 n²logn 的做法：令 f(i, j) 表示考虑了第一个串的前 i 位，第二个串的前 j 位，最长公共上升子序列的末位是 B[j] 的最长公共上升子序列长度；那么如果 A[i] = B[j]，就是所有满足 B[k] < B[j] 且 k < j 的 f(i-1, k) 转移到 f(i, j)，否则 f(i, j) = f(i-1, j)，于是我们可以随着 j 的递增将所有 f(i-1, j) 扔进树状数组，每次转移时查询一下前缀最大值就好了。

然后发现 n² 做法更 SB：由于我们每次在树状数组上询问的前缀都是 [1, A[i] ]（因为只有当 A[i] = B[j] 时才会有转移），所以直接用一个变量存满足 B[k] < A[i] 且 k < j 的 f(i-1, k) 的最大值就好了。注意这里要用滚动数组，滚动数组用起来很方便，因为所有没更新过的 f(i, j) 就等于 f(i-1, j)，所以 i 每加 1，直接在上一个版本的滚动数组上做就行了。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int BufferSize = 1 << 16;
char buffer[BufferSize], *Head, *Tail;
inline char Getchar() {
	if(Head == Tail) {
		int l = fread(buffer, 1, BufferSize, stdin);
		Tail = (Head = buffer) + l;
	}
	return *Head++;
}
int read() {
	int x = 0, f = 1; char c = Getchar();
	while(!isdigit(c)){ if(c == ‘-‘) f = -1; c = Getchar(); }
	while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - ‘0‘; c = Getchar(); }
	return x * f;
}

#define maxn 3010

int n, A[maxn], B[maxn], f[maxn];

int main() {
	n = read();
	for(int i = 1; i <= n; i++) A[i] = read();
	for(int i = 1; i <= n; i++) B[i] = read();

	int ans = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		int mx = 0;
		for(int j = 1; j <= n; j++) {
			if(B[j] < A[i]) mx = max(mx, f[j]);
			if(A[i] == B[j]) f[j] = max(f[j], mx + 1);
			ans = max(ans, f[j]);
		}
	}

	printf("%d\n", ans);

	return 0;
}

当然这题 n²logn 也是能过的。据说有人 n³ 大力过去了。。。