矩阵快速幂

在遇到一些递推式时，如果我们直接按公式一步步进行运算，效率较低。构造矩阵进行快速运算，可以高效地解决这个问题。

以int型方阵为例：

矩阵结构：

struct Mat{
    int mat[n][n];
};

矩阵乘法：

Mat mul(Mat a,Mat b)
{
    Mat ret;
    memset(ret,0,sizeof(ret));
    for(int i = 0; i<n; ++i)
        for(int j = 0; j<n; ++j)
            for(int k = 0; k<n; ++k)
                ret.mat[i][j] += a[i][k]*b[k][j];
    return ret;
}

快速计算方阵a的k次幂：

Mat matquickpow(Mat a,int k)
{
    Mat ret;
    for(int i = 0; i<n; ++i)
        for(int j = 0; j<n; ++j)
            ret.mat[i][j] = (i == j);   //初始化为单位矩阵
    while(k){
        if(k&1)
            ret = mul(a,a);
        a = mul(a,a);
        k >>= 1;
    }
    return ret;
}

快速计算方阵a的k次幂对mod取模的一步运算：

Mat mulmod(Mat a,Mat b,int mod)
{
    Mat ret;
    memset(ret,0,sizeof(ret));
    for(int i = 0; i<n; ++i)
        for(int j = 0; j<n; ++j)
            for(int k = 0; k<n; ++k)
                ret.mat[i][j] = (ret.mat[i][j]+a[i][k]*b[k][j])%mod;
                //对于某些题目，当结果为负数不合题意时，可以对最终结果进行处理
                //或者将此处改为ret.mat[i][j] = ((ret.mat[i][j]+a[i][k]*b[k][j])%mod+mod)%mod;
    return ret;
}

快速计算方阵a的k次幂对mod取模：

Mat matquickpowmod(Mat a,int k,int m)
{
    Mat ret;
    for(int i = 0; i<n; ++i)
        for(int j = 0; j<n; ++j)
            ret.mat[i][j] = (i == j);   //初始化为单位矩阵
    while(k){
        if(k&1)
            ret = mulmod(a,a);
        a = mulmod(a,a);
        k >>= 1;
    }
    return ret;
}

例如，对于斐波那契数列的递推部分，我们可以运用矩阵快速幂进行计算：

将F_n+2 = F_n+F_n+1转换为

就可以运用矩阵快速幂进行计算了。