动态规划之01背包问题(最易理解的讲解)

01背包问题,是用来介绍动态规划算法最经典的例子,网上关于01背包问题的讲解也很多,我写这篇文章力争做到用最简单的方式,最少的公式把01背包问题讲解透彻。

01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ),  f[i-1,j] }

f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中,可以取得的最大价值。

Pi表示第i件物品的价值。

决策:为了背包中物品总价值最大化,第 i件物品应该放入背包中吗 ?

题目描述:

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品,它们的重量分别是2,2,6,5,4,它们的价值分别是6,3,5,4,6,现在给你个承重为10的背包,如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和?

name weight value 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a 2 6 0 6 6 9 9 12 12 15 15 15
b 2 3 0 3 3 6 6 9 9 9 10 11
c 6 5 0 0 0 6 6 6 6 6 10 11
d 5 4 0 0 0 6 6 6 6 6 10 10
e 4 6 0 0 0 6 6 6 6 6 6 6

只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。

首先要明确这张表是至底向上,从左到右生成的。

为了叙述方便,用e2单元格表示e行2列的单元格,这个单元格的意义是用来表示只有物品e时,有个承重为2的背包,那么这个背包的最大价值是0,因为e物品的重量是4,背包装不了。

对于d2单元格,表示只有物品e,d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值,仍然是0,因为物品e,d都不是这个背包能装的。

同理,c2=0,b2=3,a2=6。

对于承重为8的背包,a8=15,是怎么得出的呢?

根据01背包的状态转换方程,需要考察两个值,

一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9,另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi;

在这里,

f[i-1,j]表示我有一个承重为8的背包,当只有物品b,c,d,e四件可选时,这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为6的背包(等于当前背包承重减去物品a的重量),当只有物品b,c,d,e四件可选时,这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]就是指单元格b6,值为9,Pi指的是a物品的价值,即6

由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9,所以物品a应该放入承重为8的背包

以下是actionscript3 的代码

[java] view plain copy

  1. public function get01PackageAnswer(bagItems:Array,bagSize:int):Array
  2. {
  3. var bagMatrix:Array=[];
  4. var i:int;
  5. var item:PackageItem;
  6. for(i=0;i<bagItems.length;i++)
  7. {
  8. bagMatrix[i] = [0];
  9. }
  10. for(i=1;i<=bagSize;i++)
  11. {
  12. for(var j:int=0;j<bagItems.length;j++)
  13. {
  14. item = bagItems[j] as PackageItem;
  15. if(item.weight > i)
  16. {
  17. //i背包转不下item
  18. if(j==0)
  19. {
  20. bagMatrix[j][i] = 0;
  21. }
  22. else
  23. {
  24. bagMatrix[j][i]=bagMatrix[j-1][i];
  25. }
  26. }
  27. else
  28. {
  29. //将item装入背包后的价值总和
  30. var itemInBag:int;
  31. if(j==0)
  32. {
  33. bagMatrix[j][i] = item.value;
  34. continue;
  35. }
  36. else
  37. {
  38. itemInBag = bagMatrix[j-1][i-item.weight]+item.value;
  39. }
  40. bagMatrix[j][i] = (bagMatrix[j-1][i] > itemInBag ? bagMatrix[j-1][i] : itemInBag)
  41. }
  42. }
  43. }
  44. //find answer
  45. var answers:Array=[];
  46. var curSize:int = bagSize;
  47. for(i=bagItems.length-1;i>=0;i--)
  48. {
  49. item = bagItems[i] as PackageItem;
  50. if(curSize==0)
  51. {
  52. break;
  53. }
  54. if(i==0 && curSize > 0)
  55. {
  56. answers.push(item.name);
  57. break;
  58. }
  59. if(bagMatrix[i][curSize]-bagMatrix[i-1][curSize-item.weight]==item.value)
  60. {
  61. answers.push(item.name);
  62. curSize -= item.weight;
  63. }
  64. }
  65. return answers;
  66. }

PackageItem类

[java] view plain copy

  1. public class PackageItem
  2. {
  3. public var name:String;
  4. public var weight:int;
  5. public var value:int;
  6. public function PackageItem(name:String,weight:int,value:int)
  7. {
  8. this.name = name;
  9. this.weight = weight;
  10. this.value = value;
  11. }
  12. }

测试代码

[java] view plain copy

    1. var nameArr:Array=[‘a‘,‘b‘,‘c‘,‘d‘,‘e‘];
    2. var weightArr:Array=[2,2,6,5,4];
    3. var valueArr:Array=[6,3,5,4,6];
    4. var bagItems:Array=[];
    5. for(var i:int=0;i<nameArr.length;i++)
    6. {
    7. var bagItem:PackageItem = new PackageItem(nameArr[i],weightArr[i],valueArr[i]);
    8. bagItems[i]=bagItem;
    9. }
    10. var arr:Array = ac.get01PackageAnswer(bagItems,10);
时间: 2024-12-24 19:51:00

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