一个有N个整数元素的一维数组A[0]，A[1]，......，A[n-1]，这个数组当然有很多子数组，那么子数组的最大值是什么呢？
分析与解法
我们先明确题意：
1. 题目说的子数组，是连续的；
2. 题目只需要求和，并不需要返回子数组的具体位置；
3. 数组中的元素是整数，所以数组可能包含有正整数、零、负整数；
4. 子数组不为空。
解法一：枚举
最简单的办法就是枚举所有的i和j，计算sum[i..j] = A[i]+A[i+1]+...+A[j]，遍历所有可能的sum[i..j]，找到最大值，时间复杂度为O(N3)。
注意到sum[i..j] = sum[i..j-1]+A[j]，则可以改进求和，使得时间复杂度为O(N2)。
解法二：分治
给定数组A[0]，A[1]，......，A[n-1]的最大子段和，分为三种情况：
(1) 与左半部分，即A[0]，A[1]，......，A[n/2-1]的最大子段和相同；
(2) 与右半部分，即A[n/2]，......，A[n-1]的最大子段和相同；
(3) 跨过中间两个元素A[n/2-1]和A[n/2]。
前两种情况是与原问题相同的规模较小的问题，可以递归求解，第三种情况可以遍历一遍数组即可求得，时间复杂度为O(NlogN)。
解法三：动规
用变量sum表示以arr[i]结尾的子数组的最大和，则所求最大和ret = max{sum}
根据如下递推关系，只需要遍历一遍数组即可：
sum = max{arr[i], arr[i]+sum}
ret = max{ret, sum}
参考代码如下所示：
1 #include <iostream>
2 using namespace std;
3
4 const int maxn = 1007;
5 int arr[maxn];
6
7 int maxSum(int arr[], int n)
8 {
9 int ret = arr[0], sum = arr[0];
10 for (int i = 1; i < n; i++)
11 {
12 sum = (sum > 0) ? (sum + arr[i]) : arr[i];
13 ret = (ret > sum) ? ret : sum;
14 }
15 return ret;
16 }
17
18 int main(int argc, char *argv[])
19 {
20 int n;
21 while (cin >> n)
22 {
23 for (int i = 0; i < n; i++)
24 {
25 cin >> arr[i];
26 }
27 int maxsum = maxSum(arr, n);
28 cout << maxsum << endl;
29 }
30 }
扩展问题
1. 如果数组是首尾相邻的，也就是我们允许找到一段数字A[i]，...，A[n-1]，A[0]，...，A[j]，请使其和最大，怎么办？
解答：可以分为两种情况：
(1) 解没有跨过A[n-1]到A[0](原问题)；
(2) 解跨过A[n-1]到A[0]。
第二种情况又有两种情况，即包含整个数组和不包含整个数组，遍历数组即可求解。
当然，对于不包含整数数组的情况，相当于从数组中删除A[j+1]...A[i-]，这部分的和一定是负的，且是可能找到的子数组的和为负数且绝对值最大的。寻找这样的子数组的问题跟情形(1)是一样的，可以用同样的方法解决。
最后，取两种情况的最大值即可。
2. 如果题目要求同时返回最大子数组的位置，算法应如何变？还能保持O(N)的时间复杂度么？