最小生成树之Kruskal算法

上一篇文章中提到了最小生成树的Prim算法，这一节继续探讨一下最小生成树的Kruskal算法。什么是最小生成树算法上文已经交代过了，所以我们直接从Kruskal的步骤开始介绍。

1.Kruskal算法的步骤：

a.假定拓扑图的边的集合是E，初始化最小生成树边集合G={}。

b. 遍历集合E中的所有元素，并且按照权值的大小进行排序。

c. 找出E中权值最小的边e 。

d .如果边e不和最小生成树集合G中的边构成环路，则将边e加到边集合G中；否则测试下一条权值次小的边，直到满足条件为止。

e. 重复步骤b，直到G=E。

2.举例来说明Kruskal算法的运行过程：

下图是一张普通的拓扑图：

则按照上面Kruskal的算法步骤来遍历，则遍历的边按顺序依次为：

AB DG EF ED BC AE

用彩色笔勾出来为：

3.Kruskal的C语言实现

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAX 1000
int father[MAX], son[MAX];
int v, l;

typedef struct Kruskal //存储邻接矩阵的信息
{
	int a;//边的起始点
	int b;//边的终点
	int value;//边的权值
};

bool cmp(const Kruskal & a, const Kruskal & b)
{
	return a.value < b.value;
}

int unionsearch(int x) //查找根结点+路径压缩
{
	return x == father[x] ? x : unionsearch(father[x]);
}

bool join(int x, int y) //边的合并
{
	int root1, root2;
	root1 = unionsearch(x);
	root2 = unionsearch(y);
	if(root1 == root2) //根节点相同，故为环路
		return false;
	else if(son[root1] >= son[root2])
	{
		father[root2] = root1;
		son[root1] += son[root2];
	}
	else
	{
		father[root1] = root2;
		son[root2] += son[root1];
	}
	return true;
}

int main()
{
	int ncase, ltotal, sum, flag;
	Kruskal edge[MAX];
	printf("分别输入顶点的个数和边的条数:\n");
	scanf("%d%d", &v, &l);//输入顶点的个数和边的条数
	ltotal = 0, sum = 0, flag = 0;
	for(int i = 1; i <= v; ++i) //初始化每个顶点的父节点和子节点
	{
		father[i] = i;
		son[i] = 1;
	}
	printf("输入每条边的邻接点和权值:\n");
	for(int i = 1; i <= l ; ++i)
	{
		scanf("%d%d%d", &edge[i].a, &edge[i].b, &edge[i].value);//输入每条边的邻接点和权值
	}
	sort(edge + 1, edge + 1 + l, cmp); //按权值由小到大排序,sort函数的头文件是<algorithm>
	for(int i = 1; i <= l; ++i)
	{
		if(join(edge[i].a, edge[i].b))
		{
			ltotal++; //边数加1
			sum += edge[i].value; //记录权值之和
			printf("%d->%d \n",edge[i].a,edge[i].b);
		}
		if(ltotal == v - 1) //最小生成树条件：边数=顶点数-1
		{
			flag = 1;
			break;
		}
	}
	if(flag) printf("%d\n", sum);
	else printf("data error.\n");
	system("pause");
	return 0;
}

注：输入的时候要用数字代替拓扑图中的字母，比如1代表A，2代表B……

4.运行结果

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