1、证明: 不等边三角形之三条外角平分线与对边延长线之交点必共线.
证明:
考虑Menelaus定理, 暨证明$${AF \over FB}\cdot{BD \over DC}\cdot{CE \over EA} = 1.$$由外角平分线定理可知, ${AF \over FB} = {AC \over BC}$, ${BD \over DC} = {AB \over AC}$, ${CE \over EA} = {BC \over AB}$, 三式相乘即得证.
Q.E.D.
2、在 $\triangle{ABC}$ 的各边上向外侧分别作三个等边三角形, 即 $\triangle{BCA^\prime}, \triangle{CAB^\prime}, \triangle{ABC^\prime}$, 则 $AA^\prime, BB^\prime, CC^\prime$ 三线共点.
证明:
若 $\triangle{ABC}$ 中有一角为 $120^\circ$, 不妨设 $\angle{A} = 120^\circ$, 此时 $C^\prime C = C^\prime AC$, $BB^\prime = BPB^\prime$, $A$ 点即为 $AA^\prime, BB^\prime, CC^\prime$ 之交点.
下面讨论没有任何一角为 $120^\circ$ 之情形.
假设 $AA^\prime, BB^\prime, CC^\prime$ 分别交 $BC, AC, AB$ 于 $D, E, F$. 因此本题结论等价于证明 $AD, BE, CF$ 三线共点.
考虑Ceva定理, 暨证明$${AF\over FB}\cdot{BD\over DC}\cdot{CE\over EA} = 1.$$由共高定理及三角形面积公式可知,$${BD\over DC} = {S_{\triangle{ABA^\prime}} \over S_{\triangle{ACA^\prime}}} = {AB \cdot A^\prime B \cdot \sin(B + 60^\circ) \over AC \cdot A^\prime C \cdot \sin(C + 60^\circ)},$$ $${CE \over EA} = {S_{\triangle{BCB^\prime}} \over S_{\triangle{BAB^\prime}}} = {BC \cdot B^\prime C \cdot \sin(C + 60^\circ) \over AB \cdot AB^\prime \cdot \sin(A + 60^\circ)},$$ $${AF\over FB} = {S_{\triangle{CAC^\prime}} \over S_{\triangle{CBC^\prime}}} = {AC \cdot AC^\prime \cdot \sin(A + 60^\circ) \over BC \cdot BC^\prime \cdot \sin(B + 60^\circ)},$$三式相乘即得证. ($\angle{A} = \angle{BAC}$, $\angle{B} = \angle{ABC}$, $\angle{C} = \angle{ACB}$)
Q.E.D.
3、在 $\triangle{ABC}$ 的边上分别向外作三个正方形: $BCDE, ACGH, ABIJ$, 若 $HG, IJ, DE$ 三边中点分别是 $B_1, C_1, A_1$, 证明: $AA_1, BB_1, CC_1$ 三线共点.
证明:
如图所示辅助线, 仿上例利用Ceva定理, 共高定理及三角形面积可证明.
Q.E.D.
4、一圆交 $\triangle{ABC}$ 的各边所在直线于两点(这两点可以重合), 设在 $BC, CA, AB$ 上的交点分别为 $DD^\prime, EE^\prime, FF^\prime$. 若知 $AD, BE, CF$ 三线共点, 则 $AD^\prime, BE^\prime, CF^\prime$ 三线共点或平行.
证明：
考虑使用Ceva定理证明之, 暨证明$${BD^\prime \over D^\prime C}\cdot{CE^\prime \over E^\prime A}\cdot{AF^\prime \over F^\prime B} = 1.$$ 由已知得 $${BD\over DC}\cdot{CE\over EA}\cdot{AF\over FB} = 1.$$ 另一方面, 由切割线定理可知 $$BD \cdot BD^\prime = BF \cdot BF^\prime \Rightarrow {BD^\prime \over BF^\prime} \cdot {BD \over BF} = 1.$$ 同理可得, $$CD \cdot CD^\prime = CE \cdot CE^\prime \Rightarrow {CD^\prime \over CE^\prime} \cdot {CD \over CE} = 1,$$ $$AE \cdot AE^\prime = AF \cdot AF^\prime \Rightarrow {AE^\prime \over AF^\prime} \cdot {AE \over AF} = 1.$$ 以上三式相乘即得证.
Q.E.D.
5、设四边形$ABCD$为圆内接四边形, $\angle{D} = 90^\circ$, 点$B$于直线$AC, AD$上的射影分别为$E, F$, 则直线$EF$必过$BD$中点.
6、已知锐角$\alpha, \beta, \gamma, \delta$满足$\alpha + \beta + \gamma + \delta = \pi$, 求证: $$\sin(\alpha + \delta)\cdot \sin(\beta + \delta) = \sin\alpha\cdot\sin\beta + \sin\gamma\cdot\sin\delta.$$
7、已知圆内接正五边形$ABCDE$, $P$为$\wideparen{AB}$上一点, 则$PA + PB + PD = PE + PC$.
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