游走[HNOI2013]

【题目描述】

一个无向连通图，顶点从1编号到N，边从1编号到M。 
小Z在该图上进行随机游走，初始时小Z在1号顶点，每一步小Z以相等的概率随机选 择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达N号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和。 
现在，请你对这M条边进行编号，使得小Z获得的总分的期望值最小。

【输入格式】

第一行是正整数N和M，分别表示该图的顶点数 和边数，接下来M行每行是整数u，v(1≤u,v≤N)，表示顶点u与顶点v之间存在一条边。 输入保证30%的数据满足N≤10，100%的数据满足2≤N≤500且是一个无向简单连通图。

【输出格式】

仅包含一个实数，表示最小的期望值，保留3位小数。

【样例输入】

  3  3
  2  3
  1  2
  1  3

【样例输出】

3.333

【提示】

边(1,2)编号为1，边(1,3)编号2，边(2,3)编号为3。

【题解】

对答案贡献大的边编号越小越好，贡献小的边编号自然需要较大，这样想明显需要求出各边经过次数的期望。

首先删去终点的出边，对于每一条边，设其两个节点为u和v：可能从u走到v，也可能从v走到u，从u走到v的期望次数等于经过点u的次数/u的度数，问题转化成求每个点的期望经过次数。

和臭气弹类似地，对于起点,一开始经过一次,也可能从其他点走过来。这是n个变量n个方程的方程组，高斯消元解方程组。
                       f[1]=1+sigma(f[j]/degree(j),j和1有边)
                   f[i]=sigma(f[j]/degree(j),j和i有边，i>=2)

求出各边期望的经过次数之后从大到小sort一下，把它的编号作为边权，计算结果即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int sj=510;
const double je=1e-8;
int n,m,a1,a2,e,h[sj],q[sj*sj],z[sj*sj];
double cd[sj],a[sj][sj],c[sj],jg,xx[sj*sj];
struct B
{
    int ne,v;
}b[sj*sj*2];
void add(int x,int y)
{
     b[e].v=y;
     b[e].ne=h[x];
     h[x]=e++;
     cd[x]++;
}
void init()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(h,-1,sizeof(h));
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
       scanf("%d%d",&a1,&a2);
       q[i]=a1;
       z[i]=a2;
       if(a1!=n)  add(a1,a2);
       if(a2!=n)  add(a2,a1);
    }
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
       a[i][i]=1;
       for(int j=h[i];j!=-1;j=b[j].ne)
          a[b[j].v][i]-=1/cd[i];
    }
    c[1]=1;
    a[n][n]=1;
}
void jh(double &x,double &y)
{
     double temp=y;
     y=x;
     x=temp;
}
void gs()
{
     int zd;
     double temp;
     for(int i=1;i<=n;i++)
     {
        zd=i;
        temp=fabs(a[i][i]);
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
          if(temp<fabs(a[j][i]))
          {
             zd=j;
             temp=fabs(a[j][i]);
          }
        if(zd!=i)
        {
           for(int j=1;j<=n;j++)
            jh(a[i][j],a[zd][j]);
           jh(c[i],c[zd]);
        }
        if(fabs(a[i][i])<je) continue;
        temp=a[i][i];
        for(int j=1;j<=n;j++)
          a[i][j]/=temp;
        c[i]/=temp;
        for(int j=1;j<=n;j++)
          if(i!=j)
          {
             temp=a[j][i];
             for(int k=1;k<=n;k++)
               a[j][k]-=a[i][k]*temp;
             c[j]-=c[i]*temp;
          }
     }
}
int main()
{
    //freopen("t.txt","r",stdin);
    freopen("walk.in","r",stdin);
    freopen("walk.out","w",stdout);
    init();
    gs();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(cd[q[i]])
          xx[i]+=c[q[i]]/cd[q[i]];
        if(cd[z[i]])
          xx[i]+=c[z[i]]/cd[z[i]];
    }
    sort(xx+1,xx+m+1,greater<double>());
    for(int i=1;i<=m;i++)
      jg+=xx[i]*i;
    printf("%.3lf",jg);
    //while(1);
    return 0;
}