【概率论与数理统计】小结2 - 随机变量概述

注：对随机变量及其取值规律的研究是概率论的核心内容。在上一个小结中，总结了随机变量的概念以及随机变量与事件的联系。这个小结会更加深入的讨论随机变量。

随机变量与事件

随机变量与事件的联系与区别

小结1中对这两个概念的联系进行了非常详细的描述。随机变量实际上只是事件的另一种表达方式，这种表达方式更加形式化和符号化，也更加便于理解以及进行逻辑运算。不同的事件，其实就是随机变量不同取值的组合。在陈希孺的书中，举了一个很好的例子来说明两者之间的差别：

对于随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量。当然，有时我们所关心的是某个或某些特定的随机事件。例如，在特定一群人中，年收入在万元以上的高收入者，以及年收入在3000元以下的低收入者，各自的比率如何？这看上去像是两个孤立的事件。可是，若我们引入一个随机变量X：

X = 随机抽出一个人其年收入，

则X是我们关心的随机变量。上述两个事件可分别表示为{X > 10000}或{X < 3000}。这就看出：随机事件这个概念实际上包容在随机变量这个更广的概念之内。也可以说，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样，变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念。同样，概率论能从计算一些孤立事件的概率发展为一个更高的理论体系，其基本概念就是随机变量。

一下子引用了一大段话，这段话非常清楚的解释了随机变量与事件的区别：就像变量与常量之间的差别那样，这样的差别比起我自己看到的要大得多。做这样的比较也有利于自己更好的理解“随机变量”这个多少有点抽象的概念。

随机变量的分类

离散型随机变量

离散型随机变量的取值在整个实数轴上是间隔的，要么只有有限个取值，要么是无限可数的。

图1：离散型随机变量的概率质量分布

常见的离散型随机变量包括以下几种：

• 0-1分布（也叫两点分布或伯努利分布）
• 二项分布
• 几何分布
• 泊松分布
• 超几何分布

连续型随机变量

连续型随机变量的取值要么包括整个实数集(-∞, +∞)，要么在一个区间内连续，总之这类随机变量的可能取值要比离散型随机变量的取值多得多，它们的个数是无限不可数的。

常见的连续型随机变量包括以下几种：

• 均匀分布
• 指数分布
• 正态分布

随机变量的基本性质

表1：常见的随机变量的性质

概率质量函数vs概率密度函数

概率质量函数和概率密度函数不同之处在于：概率质量函数是对离散随机变量定义的，本身代表该值的概率；概率密度函数是对连续随机变量定义的，本身不是概率，只有对连续随机变量的概率密度函数在某区间内进行积分后才是概率。

References

中国大学MOOC：浙江大学，概率论与数理统计

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_distribution