进制问题的几个探究以及拓展

by MedalPluS

什么是进制这里就不赘述了= =，本文着重讨论如何转换进制

• n进制转10进制

比如说(10001)₂如何转换为10进制？

有一种方法叫做按权展开求和 10001可以展开为2⁰*1+2¹*0+2²*0+2³*0+2⁴*1=17,这样就转换为了（17）₁₀

转换为代码如下：

1 int change_n_to_10(int c[],int k){//c为n进制数组
2   int base=k,result=0,index;
3   for(index=len_c-1;i>=0;i--){
4     result+=base*c[index];
5     base*=k;
6   }
7   return result;
8 }

时间复杂度O(二进制长度)

• 10进制转n进制

算法：短除法

示意图：

时间复杂度O(√n)

• 小数的进制转换

小数的进制转换同整数转换，小数点前取结果自底向上，小数点后取结果自顶向下

• 负数的进制转换

同整数除法，但不过除了以后会有负数取余的情况，会WA，所以要特判，如果有这种情况，当前数应减去那个负进制，并且余数+1

• 典型例题

进制转换NOIP2000提高组T1

【题目描述】

我们可以用这样的方式来表示一个十进制数: 将每个阿拉伯数字乘以一个以该数字所处位置的(值减1)为指数,以10为底数的幂之和的形式。例如:123可表示为 1*102+2*101+3*100这样的形式。
    与之相似的,对二进制数来说,也可表示成每个二进制数码乘以一个以该数字所处位置的(值-1)为指数,以2为底数的幂之和的形式。一般说来,任何一个正整数R或一个负整数-R都可以被选来作为一个数制系统的基数。如果是以R或-R为基数,则需要用到的数码为 0,1,....R-1。例如,当R=7时,所需用到的数码是0,1,2,3,4,5和6,这与其是R或-R无关。如果作为基数的数绝对值超过10,则为了表示这些数码,通常使用英文字母来表示那些大于9的数码。例如对16进制数来说,用A表示10,用B表示11,用C表示12,用D表示13,用E表示14,用F表示15。
    在负进制数中是用-R 作为基数,例如-15(十进制)相当于110001(-2进制),并且它可以被表示为2的幂级数的和数:
    110001=1*(-2)5+1*(-2)4+0*(-2)3+0*(-2)2+0*(-2)1 +1*(-2)0
    设计一个程序,读入一个十进制数和一个负进制数的基数, 并将此十进制数转换为此负进制下的数:-R∈{-2,-3,-4,...,-20}

【输入描述】

输入的每行有两个输入数据。
  第一个是十进制数Ｎ（－32768＜＝Ｎ＜＝32767）；  第二个是负进制数的基数－Ｒ。
  【输出描述】
  结果显示在屏幕上，相对于输入，应输出此负进制数及其基数，若此基数超过１０，则参照１６进制的方式处理。

【分析】

裸的负数进制转换，没有任何拐弯抹角

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cmath>
 4 using namespace std;
 5
 6 const int maxn=10001;
 7
 8 inline int abx(int x){return x>0?x:-x;}
 9
10 int x,y,d,c[maxn],i,a,b;
11
12 int main(){
13     while(cin>>x>>y){
14         d=0;
15         printf("%d=",x);
16         while(x){
17             a=x%y;
18             b=x/y;
19             if(a<0){
20                 a-=y;
21                 b++;
22             }
23             x=b;
24             c[++d]=a;
25         }
26         for(i=d;i>=1;i--)
27           if(c[i]<10)printf("%d",c[i]);
28           else printf("%c",(char)(‘A‘+c[i]-10));
29         printf("(base%d)\n",y);
30     }
31     return 0;
32 }

2015-03-06