中国科学院大学2013年数学分析高等代数考研试题

1($25'$) 计算: (1)($10'$) $\dps{\lim_{n\to\infty}\sin^2\sex{\pi\sqrt{n^2+n}}}$. 解答: $$\beex \bea \mbox{原极限} &=\lim_{n\to\infty}\sin^2\sex{\pi\sqrt{n^2+n}-\pi n}\\ &=\lim_{n\to\infty}\sin^2\frac{\pi n}{\sqrt{n^2+n}+n}\\ &=\sin^2\sex{\lim_{n\to\in

1求 $\dps{\iint_D |x|\rd x\rd y}$, 其中 $D$ 为三角形 $\lap ABC:\ A(-2,0),B(1,1),C(2,3)$. 2把 $\dps{\iiint_Vf(x,y,z)\rd x\rd y\rd z}$ 化为累次积分, 其中 $f(x,y,z)$ 为连续函数, $V$ 为四面体: $P(2,2,0), A(-2,0,0), B(0,0,2), C(1,1,3)$. 3求 $\dps{\lim_{n\to\infty}\frac{1^p+2^p+\cd

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设 $f(x)$ 二阶连续可导, $f(0)=f(1)=0$, $\dps{\max_{0\leq x\leq 1}f(x)=2}$. 证明: $$\bex \min_{0\leq x\leq 1}f''(x)\leq -16. \eex$$ 证明: 设 $$\bex \xi\in (0,1),\st f(\xi)=\max_{0\leq x\leq 1}f(x)=2\ra f'(\xi)=0. \eex$$ 在 $\xi$ 处由 Taylor 展式, $$\beex \bea 0=f(0)=f

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一阶连续可导, $f(a)=0$. 证明: $$\bex \int_a^b f^2(x)\rd x\leq \cfrac{(b-a)^2}{2}\int_a^b [f'(x)]^2\rd x -\cfrac{1}{2}\int_a^b [f'(x)]^2 (x-a)^2\rd x. \eex$$ 证明: $$\beex \bea \int_a^b f^2(x)\rd x &=\int_a^b \sez{\int_a^xf'(t)\rd t}^2\rd x\

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