线性方程定理

设a与b是非零整数，g=gcd(a,b).方程ax+by=g总是有一个整数解(x1,y1) （可利用扩展欧几里得算法解出），则方程的每一个解可由(x1+k*b/g,y1-k*a/g)得到，其中k可为任意整数。

证明：先证明ax+by=1的情况（此时设gcd(a,b)=1）。（1）

若(x,y)是（1）式的解，则(x+kb,y-ka)也是（1）式的解，这个显而易见。

当然，若(x1,y1)和(x2,y2)都是（1）式的解，那么

ax1+by1=1　　（2）

ax2+by2=1　　（3）

通过x2乘（2）式减去x1乘（3）式，可得 by1*x2-by2*x1=x2-x1 （4）

通过y2乘（2）式减去y1乘（3）式，可得 ax1*y2-ax2*y1=y2-y1 （5）

不妨令k=x2*y1-x1*y2，代入（4）、（5）式

推出 x2=x1+kb，y2=y1-ak

似乎这都是理所当然的做法

再讨论ax+by=gcd(a,b)时只需等式两边都除一下gcd(a,b)即可

时间： 2024-10-15 23:12:06

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