卡尔曼滤波器

卡尔曼的历史不讲了...

网上写卡尔曼滤波器的太多了...而且大(yi)多(mu)雷(yi)同(yang)，所以，我也不知道谁是第一稿，谁是转载者，这里...我也是参考别人的博文。将卡尔曼滤波器用在了一个GPS的小程序里，最简单的一维模型...

X(k)=A*X(k-1)+B*U(k)+W(k)

再加上系统的测量值：

Z(k)=H*X(k)+V(k)

上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance 分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。

对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统的最优化输出。

利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：

X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k)                     (1)

式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。

到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于 X(k|k-1)的covariance(协方差)还没更新。我们用P表示covariance：

P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q                       (2)

式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的 covariance，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。式子1，2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。

现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值，我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k)：

X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1))    (3)

其中Kg为卡尔曼增益(Kalman Gain)：

Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R)      (4)

到现在为止，我们已经得到了k状态下最优的估算值 X(k|k)。但是为了要另卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k状态下X(k|k)的covariance：

P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1)                     (5)

其中I 为1的矩阵，对于单模型单测量，I=1。当系统进入k+1状态时，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。这样，算法就可以自回归的运算下去。

GPS测量系统建模：

物体具有惯性，系统认为物体前一时刻和后一时刻的GPS定位坐标相同，所以A=1。没有控制量，所以U(k)=0。得到：

X(k|k-1)=X(k-1|k-1)                                    (6)

公式（2）改写成：

P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q                             (7)

因为GPS的测量值直接获得，所以H=1。公式（3）（4）（5）改写成：

X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-X(k|k-1))      (8)

Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R)                  (9)

P(k|k)=（1-Kg(k)）P(k|k-1)                       (10)

为了令卡尔曼滤波器开始工作，我们需要告诉卡尔曼两个零时刻的初始值，是X(0|0)和P(0|0)。

clear
clc;

CON = 0;%初始值

tmp_y = importdata(‘kalman.txt‘);%此时importdata 读出为列数据
y = tmp_y‘;
N = length(y);%由于输入长度发生变化，N值需要修改
x = zeros(1,N);

x(1) = 0;
p = 10;

Q = 0.1*cov(randn(1,N));%过程噪声协方差
R = 100*cov(randn(1,N));%观测噪声协方差
for k = 2 : N
x(k) = x(k - 1);%预估计k时刻状态变量的值
p = p + Q;%对应于预估值的协方差
kg = p / (p + R);%kalman gain
x(k) = x(k) + kg * (y(k) - x(k));
p = (1 - kg) * p;
end

fid1=[‘Kal_output‘,‘.txt‘];
c=fopen(fid1,‘w‘);
fprintf(c,‘%f\n‘,x);
fclose(c);

t=1:N;
figure(1);
expValue = zeros(1,N);
for i = 1: N
expValue(i) = CON;
end
plot(t,x,‘r‘,t,y,‘b‘);
legend(‘输出数据‘,‘测量数据‘);
axis([0 N -0.0005 0.0005])
xlabel(‘Sample time‘);
ylabel(‘Value‘);
title(‘kalman filter‘);

效果：