BZOJ 1041: [HAOI2008]圆上的整点【数论，解方程】

1041: [HAOI2008]圆上的整点

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Description

求一个给定的圆(x^2+y^2=r^2)，在圆周上有多少个点的坐标是整数。

Input

只有一个正整数n,n<=2000 000 000

Output

整点个数

Sample Input

4

Sample Output

4

HINT

科普视频

Source

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1041

【分析】：

样例图示：

首先,最暴力的算法显而易见：枚举x轴上的每个点，带入圆的方程，检查是否算出的值是否为整点，这样的枚举量为2*N，显然过不了全点。

然后想数学方法。

有了上面的推理，那么实现的方法为：

枚举d∈[1,sqrt(2R)]，然后根据上述推理可知：必先判d是否为2R的一约数。

此时d为2R的约数有两种情况：d=d或d=2R/d。

第一种情况：d=2R/d。枚举a∈[1,sqrt(2R/2d)] <由2*a*a < 2*R/d转变来>，算出对应的b=sqrt(2R/d-a^2)，检查是否此时的A,B满足：A≠B且A,B互质 <根据上面的推理可知必需满足此条件>，若是就将答案加1

第二种情况：d=d。枚举a∈[1,sqrt(d/2)] <由2*a*a < d转变来>，算出对应的b=sqrt(d-a^2)，检查是否此时的A,B满足：A≠B且A,B互质 <根据上面的推理可知必需满足此条件>，若是就将答案加1

因为这样只算出了第一象限的情况<上面枚举时均是从1开始枚举>，根据圆的对称性，其他象限的整点数与第一象限中的整点数相同，最后，在象限轴上的4个整点未算，加上即可，那么最后答案为ans=4*第一象限整点数+4

【时间复杂度分析】：

枚举d：O(sqrt(2R)),然后两次枚举a：O(sqrt(d/2))+O(sqrt(R/d))，求最大公约数：O(logN)

下面给出AC代码：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 inline ll read()
 5 {
 6     ll x=0,f=1;
 7     char ch=getchar();
 8     while(ch<‘0‘||ch>‘9‘)
 9     {
10         if(ch==‘-‘)
11             f=-1;
12         ch=getchar();
13     }
14     while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘)
15     {
16         x=x*10+ch-‘0‘;
17         ch=getchar();
18     }
19     return x*f;
20 }
21 inline void write(ll x)
22 {
23     if(x<0)
24     {
25         putchar(‘-‘);
26         x=-x;
27     }
28     if(x>9)
29     {
30         write(x/10);
31     }
32     putchar(x%10+‘0‘);
33 }
34 ll gcd(ll a,ll b)
35 {
36     return b==0?a:gcd(b,a%b);
37 }
38 inline bool check(ll y,double x)
39 {
40     if(x==floor(x))//判断整点
41     {
42         ll x1=(ll)floor(x);
43         if(gcd(x1*x1,y*y)==1&&x1*x1!=y*y)//gcd(A,B)==1&&A!=B
44             return true;
45     }
46     return false;
47 }
48 int main()
49 {
50     ll R;
51     R=read();
52     ll ans=0;
53     for(ll d=1;d<=(ll)sqrt(2*R);d++)//1<=d^2<=2R
54     {
55         if((2*R)%d==0)
56         {
57             for(ll a=1;a<=(ll)sqrt(2*R/(2*d));a++)//2*a^2<2*R/d
58             {
59                 double b=sqrt(((2*R)/d)-a*a);
60                 if(check(a,b))
61                     ans++;
62             }
63             if(d!=(2*R)/d)
64             {
65                 for(ll a=1;a<=(ll)sqrt(d/2);a++)//2*a^2<=d
66                 {
67                     double b=sqrt(d-a*a);
68                     if(check(a,b))
69                         ans++;
70                 }
71             }
72         }
73     }
74     printf("%lld\n",ans*4+4);
75     return 0;
76 }