bzoj1013题解

【解题思路】

　　初看以为是二次方程组，但这些方程有相同的右值r²，于是可以化为一次方程组，高斯消元即可。复杂度O(n³)。

　　化简过程：

假设第i个方程和第j个方程联立，得：

　　 ∑(a[i,k]-a[0,k])²=∑(a[j,k]-a[0,k])²

<=>∑(a[i,k]²+a[0,k]²-2*a[i,k]*a[0,k])=∑(a[j,k]²+a[0,k]²-2*a[j,k]*a[0,k])

<=>∑(a[i,k]²-a[j,k]²)=2*∑(a[0,k]*(a[i,k]-a[j,k]))

<=>∑(a[i,k]-a[j,k])a[0,k]=∑(a[i,k]²-a[j,k]²)/2

选取n个线性无关的区间(i,j)联立方程组（我选的是i和i+1），a[0]即是答案向量。

【参考代码】

 1 #include <iomanip>
 2 #include <iostream>
 3 #define REP(I,start,end) for(int I=start;I<=end;I++)
 4 #define PER(I,start,end) for(int I=start;I>=end;I--)
 5 #define REPs(I,start,end,step) for(int I=start;I<=end;I+=step)
 6 #define PERs(I,start,end,step) for(int I=start;I>=end;I-=step)
 7 using namespace std;
 8 template<typename T> T sqr(T n)
 9 {
10     return n*n;
11 }
12 int n;
13 long double a[20][20],A[20][20];
14 int main()
15 {
16     ios::sync_with_stdio(false);
17     cin>>n;
18     REP(i,1,n+1)
19         REP(j,1,n)
20             cin>>a[i][j];
21     REP(i,1,n)
22         REP(j,1,n)
23         {
24             A[i][j]=2*(a[i+1][j]-a[i][j]);
25             A[i][0]+=sqr(a[i+1][j])-sqr(a[i][j]);
26         }
27     REP(i,1,n-1)
28         REP(j,i+1,n)
29         {
30             long double _i=A[i][i],_j=A[j][i];
31             REP(k,0,n)
32                 A[j][k]=A[j][k]*_i/_j-A[i][k];
33         }
34     PER(i,n,1)
35         REP(j,1,i-1)
36         {
37             long double _i=A[i][i],_j=A[j][i];
38             REP(k,0,i)
39                 A[j][k]=A[j][k]*_i/_j-A[i][k];
40         }
41     REP(i,1,n-1)
42         cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(3)<<A[i][0]/A[i][i]<<‘ ‘;
43     cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(3)<<A[n][0]/A[n][n]<<endl;
44     return 0;
45 }