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题目背景
小a和uim来到雨林中探险。突然一阵北风吹来,一片乌云从北部天边急涌过来,还伴着一道道闪电,一阵阵雷声。刹那间,狂风大作,乌云布满了天空,紧接着豆大的雨点从天空中打落下来,只见前方出现了一个披头散发、青面獠牙的怪物,低沉着声音说:“呵呵,既然你们来到这,只能活下来一个!”。小a和他的小伙伴都惊呆了!
题目描述
瞬间,地面上出现了一个n*m的巨幅矩阵,矩阵的每个格子上有一坨0~k不等量的魔液。怪物各给了小a和uim一个魔瓶,说道,你们可以从矩阵的任一个格子开始,每次向右或向下走一步,从任一个格子结束。开始时小a用魔瓶吸收地面上的魔液,下一步由uim吸收,如此交替下去,并且要求最后一步必须由uim吸收。魔瓶只有k的容量,也就是说,如果装了k+1那么魔瓶会被清空成零,如果装了k+2就只剩下1,依次类推。怪物还说道,最后谁的魔瓶装的魔液多,谁就能活下来。小a和uim感情深厚,情同手足,怎能忍心让小伙伴离自己而去呢?沉默片刻,小a灵机一动,如果他俩的魔瓶中魔液一样多,不就都能活下来了吗?小a和他的小伙伴都笑呆了!
现在他想知道他们都能活下来有多少种方法。
输入输出格式
输入格式:
第一行,三个空格隔开的整数n,m,k
接下来n行,m列,表示矩阵每一个的魔液量。同一行的数字用空格隔开。
输出格式:
一个整数,表示方法数。由于可能很大,输出对1 000 000 007取余后的结果。
输入输出样例
输入样例#1:
2 2 3 1 1 1 1
输出样例#1:
4
说明
【题目来源】
lzn改编
【样例解释】
样例解释:四种方案是:(1,1)->(1,2),(1,1)->(2,1),(1,2)->(2,2),(2,1)->(2,2)。
【数据范围】
对于20%的数据,n,m<=10,k<=2
对于50%的数据,n,m<=100,k<=5
对于100%的数据,n,m<=800,1<=k<=15
这题还不算太难,,当初看的时候不是很理解题意,以为他们会选择两条不同的路径,导致整体思路混乱
其实理解题意和思路之后还是敲了不短的时间,一部分身体原因再加上中午休息不太好,整个人思路较乱,靠本能打了一遍代码毫无头绪。恢复了一下状态重新开打,才算是A掉
题解
设dp[i][j][l][p]为当前走到第(i, j)位,当前(a - b) % k 为l,本次是第p个人取得药,p = 0为a,p = 1 为b,
此时的方案数
则 dp[i][j][l][1] += dp[i-1][j][((l + a[i][j]) % k + k) % k][0] + dp[i][j-1][((l + a[i][j]) % k + k) % k][0]
dp[i][j][l][0] += dp[i-1][j][((l - a[i][j]) % k + k) % k][1] + dp[i][j-1][((l - a[i][j]) % k + k) % k][1]
举个栗子:
假设本次在(3, 2),该1(uim)走,则该状态的上一个状态应为 当前在(3,1),该0(小a)走,当时的差为l + a[i][j]
另一个状态同理。
解释一下差加减的原理:
我们的dp方程的第三维定义的是a(小a) - b(uim)的差,那么按照上面的栗子来看,本步由uim来走,那么它们状态的差应减少,减少值为a[i][j],所以上一状态为l + a[i][j],
扯一点关于初始化的东西
由于题目中规定可以从每个点开始,同时必须小a先吸收,所以
对于读入的每一个a[i][j],设dp[i][j][a[i][j] % k][0] = 1
其余点均为0
关于k
实在有些不理解出题人的脑洞,,(lzn别打我= =),,只有k的容量,到了k+1就会清零,,,默默地k++吧
关于复杂度
记录两个人的当前值肯定会T,使用long long会M,据说常数太大会卡两个,暂时没发现
关于差值问题:
有人说差值可正可负,我当时也考虑了一段时间,后来发现在%k意义下对答案没有任何影响,即 k = 3时,(k + 1等于4时)a比b少2和a比b多2其实是等效的,即a拿2个后两人均相同
代码如下:
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> const int maxn = 800 + 1; const int mod = 1000000007; int dp[maxn][maxn][16][2]; int a[maxn][maxn]; int n, m, k; int main () { scanf("%d %d %d", &n, &m, &k); k++; for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= m; j++) { scanf("%d", &a[i][j]); dp[i][j][(a[i][j]) % k][0] = 1; } } for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= m; j++) { for (int l = 0; l < k; l++) { dp[i][j][l][1] = (dp[i][j][l][1] + dp[i-1][j][((l + a[i][j]) % k + k) % k][0] + dp[i][j-1][((l + a[i][j]) % k + k) % k][0]) % mod; dp[i][j][l][0] = (dp[i][j][l][0] + dp[i-1][j][((l - a[i][j]) % k + k) % k][1] + dp[i][j-1][((l - a[i][j]) % k + k) % k][1]) % mod; } } } long long ans = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= m; j++) { ans = (ans + dp[i][j][0][1]) % mod; } printf("%lld", ans); return 0; }