BZOJ1833 [ZJOI2010] count

【问题描述】

给定两个正整数a和b，求在[a,b]中的所有整数中，每个数码(digit)各出现了多少次。

【输入格式】

输入文件中仅包含一行两个整数a、b，含义如上所述。

【输出格式】

输出文件中包含一行10个整数，分别表示0-9在[a,b]中出现了多少次。

【输入样例】

1 99

【输出样例】

9 20 20 20 20 20 20 20 20 20

【数据范围】

30%的数据中，a<=b<=10^6；

100%的数据中，a<=b<=10^12。

正解：数位DP

解题报告：

只要想清楚就很简单，首先问题肯定是把区间1-b和区间1-（a-1）出现的数码统计出来，相减输出来；暴力一个一个数的统计肯定是会超时的，我们先不管前导0，然后我们把数字分为n位，前n位出现的所有数码次数可以看出全是一样的，f[i]表示前i位出现的数码次数,f[i]=f[i-1]*10+10^(i-1);接下来，如果仍然允许前导0，但将数的上限考虑进来的话，我们只需要从高位向低位计算。设当前为第i位，数字的这一位的数字为k，那么对于那些这一位数字小于 k的数，他们的前i-1位是没有数的大小上限的，每个数字累加k*f(i-1)即可，同时0~k-1的数累加10^(i-1)；而对于那些这一位的数字恰 好为k的数，为了不超过上限，应累加前i-1位的数字形成的数+1（全为0）; 最后，我们来想一下如何处理不允许前导0的情况，其实我们可以一位一位算，因为前n-1位没有上限，第i位可以直接通过f[i-1]*9算出，再把1-9加上10^(i-1),这样即可保证没算包括前导0的情况。

 1 #include <iostream>
 2 #include <iomanip>
 3 #include <cstdlib>
 4 #include <cstdio>
 5 #include <cmath>
 6 #include <algorithm>
 7 #include <string>
 8 #include <cstring>
 9 #define RG register
10 #define ll long long
11
12 using namespace std;
13
14 ll f[20],l[10],r[10];
15
16 void solve(ll *x,ll s){
17     if (!s) return;
18     ll k=s,m;RG int w=0,i,j,sum[15];
19     while(k) sum[++w]=k%10,k/=10;
20     for (m=1,i=1; i<w; i++){
21         x[0]+=f[i-1]*9;
22         for (j=1; j<=9; j++) x[j]+=f[i-1]*9+m;
23         m*=10;
24     }
25     k=s-sum[w]*m;
26     for (i=1; i<sum[w]; i++) x[i]+=m;
27     for (i=0; i<=9; i++) x[i]+=f[w-1]*(sum[w]-1);
28     x[sum[w]]+=k+1;
29     for (i=w-1; i; i--){
30         m/=10,k-=sum[i]*m;
31         for (j=0; j<sum[i]; j++) x[j]+=m;
32         for (j=0; j<=9; j++) x[j]+=f[i-1]*sum[i];
33         x[sum[i]]+=k+1;
34     }
35     return;
36 }
37
38 int main(){
39     freopen("input.txt","r",stdin);
40     freopen("output.txt","w",stdout);
41     ll a,b,s;RG int i;
42     f[1]=1;s=10;
43     for (i=2; i<=15; i++) f[i]=f[i-1]*10+s,s*=10;
44     scanf("%lld%lld",&a,&b);
45     for (i=0; i<10; i++) l[i]=r[i]=0;
46     solve(l,a-1),solve(r,b);
47     printf("%lld",r[0]-l[0]);
48     for (i=1; i<=9; i++) printf(" %lld",r[i]-l[i]);
49     printf("\n");
50     return 0;
51 }