【算法】欧几里德算法--求最大公约数

预备知识

因子（除数）

如果有整数 n,a,b 。a和b都不为0 ，且 有 n = a*b ，则说a(或者b，以下省略说明)为n的一个因子，或者说a能整除n。

特别的：任何非0整数都是0的因子，所以一般我们不会去求0的因子。

如：3 的因子有  1, -1 ,  3 ,  -3 。然而我们一般只考虑正数因子，因为负数因子和正数因此没有本质上的区别，只是符号不同而已。

素数：素数（也加叫质数）的定义是，如果整数p的因子 只有 ±1 和   ±p，则它就是素数 。特别的：0 和1既不是素数，也不是合数。

合数一定能分解为 若干个 素数相乘的形式。如 27 = 3x3x3 ，155 = 5x31

模运算

a为正整数，且可以表示为： a = q*m+r  ( r和q都是整数，且0<= r  < q ), 则说：  a mod q = r    。

例如： 7 mod 4 =  3      ，因为 7= 1*4 +3

我们并没有给出负数的模运算定义，因为它的定义不统一，也很少使用。但是要注意的是，在C/C++ 和 Java中，模运算的结果的符号和第一个操作数的符号相同。也就是说 a %  b 的结果和 a 的符号相同。

模运算是很有作用的，例如，任何 正整数 mod  m ，将会把他们映射到集合{0,1,2,...m-1}上。

欧几里德算法求最大公约数

将a ，b的公约数运算表示为函数gcd(a,b) 的返回值。a，b是不全为 0 的 非负数，且a >= b。

则  gcd(a,b)  =  gcd(b, a  mod  b)  ,可以看见是一个递归调用，调用结束的条件是 ： 第二个参数为 0，则返回的结果为 第一个参数。

也就是说：gcd(m,0) =  m。

代码实现：

int gcd1(int a, int b)     //使用递归
{
    assert(a >= b);

    if (b == 0)
        return a;
    else
        return gcd1(b, a%b);

}

int gcd2(int a, int b)   //使用循环
{
    assert(a >= b);
    int r;

    while (b != 0)
    {
        r = a%b;
        a = b;
        b = r;
    }
    return a;
}