摊还分析

本章内容：

1.聚合分析

2.核算法

3.势能法

4.动态表

一　　聚合分析

1.　　在摊还分析中，我们求数据结构的一个操作序列中所执行的所有操作的平均时间，来评价操作的代价，它不涉及概率，可以保证最坏情况下每个操作的平均性能。

2.　　摊还代价：对所有n，一个n个操作的序列最坏情况下话费时间为T(n)，从而摊还代价（平均代价）为 T(n) / n.

3.　　栈操作中加入MULTIPOP(S, k)，可以同时删除栈顶的k个元素，总元素少于k则全部删除。

　　下面分析一个由n个PUSH, POP, 和MULTIPOP组成的操作序列在一个空栈上的执行情况。假设栈的大小最大为n，那么MULTIPOP的最坏情况代价是O(n)。因此任意一个操作的最坏情况是O(n)，从而n个操作的序列的最坏情况代价为O(n ^ 2)。

　　上面并不是一个确界，用聚合分析考虑整个序列的n个操作可以得到更好的上界。在一个空栈上执行n个PUSH, POP, MULTIPOP操作，考虑到每个对象PUSH进入后最多只能POP一次，因此执行POP的次数不会多于PUSH的次数，因此最多有n次，即操作序列最多花费O(n)时间，平均代价即为O(n) / n = O(1).

4.　　k位二进制计数器递增：

　　用一个length为k的位数组A[0..K - 1]作为计数器。当保存值为x时，最低位在A[0]，最高位在A[k - 1]，有

　　初始x为0，为了实现计数器加1，使用如下过程：

　　粗略分析发现执行一次最坏情况需要将k个位置由1变为0，所以n此操作最坏情况似乎是O(nk)

　　进一步分析，每次INCREMENT时A[0]确实都要翻转，但是A[1]只需要2次执行翻转一次，A[2]则4次执行翻转一次...因此n个操作的序列，A[i]会翻转n / 2 ^ i 次，因此执行序列的翻转操作总数：

　　显然摊还代价为O(n) / n = O(1).

二　　核算法

1.　　对不同的操作赋予不同的费用，将赋予一个操作的费用称为它的摊还代价。当一个操作的摊还代价超出实际代价时，将差额存入数据结构中，称为信用，可以用来支付别的操作摊还代价比实际代价少的差额。

　　左边表示摊还代价总和，右边表示真实代价总和。总的信用等于上面左边减去右边，由于要保证摊还代价为实际代价上界，所以当前的总信用要保持为非负值。

3.　　同聚合分析中的栈操作：

　　操作的实际代价为：　　其中s为调用时栈的元素个数

　　我们给这些操作赋予如下的摊还代价：

　　可以这样进行考虑，每个元素PUSH进去的时候，需要支付2个单位的代价，其中PUSH操作实际用了一个，剩下的一个代价存起来。这样栈中的每个存在的元素其实自身都含有一个单位可用的代价，在出栈时无论是POP还是MULTIPOP都可以支付自己的出栈代价。由于栈里面的元素个数始终非负，所以可以保证信用始终非负。

　　因此，对任意n个操作序列的总摊还代价为实际代价的上界，即O(n).

4.　　二进制计算器递增:

　　执行INCREMENT操作的运行时间与翻转的位数成正比，所以用翻转的位数作为操作的代价。

　　对一次置位操作（将该位由0变为1），设其摊还代价为2。进行置位时，用1来支付置位操作的实际代价，剩下的1存起来作为信用，该以后复位（变为0）的时候用。任何时刻信用值非负，因为计算器中1的个数始终非负。由于每次操作最多只进行一次置位（第6行），所以总摊还代价为O(n)，为实际代价的上界。

三　　势能法

1.　　对一个初始数据结构D0执行n个操作。Di为在数据结构Di-1上执行第 i 个操作得到的结果数据结构。势函数将Di映射到一个实数Φ(Di)，表示数据结构Di的势能，类似于前面的信用。有：