时间复杂度的概念以及计算

老规矩， 先看看维基定义：

The time complexity of an algorithm quantifies the amout of time taken by an algorithm to run as function. The complexity of an algorithm is commonly expressed using big O notation, which excludes coefficients and lower order terms.

算法的时间复杂度量化了函数运行算法所花费的时间，排除了系数以及低阶项，算法 通常用大写的 O 表示。

T(n) =  O(f(n))  (f(n) 一般是算法中频度最大的语句频度）。

算法一（线性级别）：

1 int x = 1;         // 计算 1 次
2 for  (in i = 0; i < n; i++)
3 {
4     x += 1;        // 计算 n 次
5 }

算法共计算 n + 1 次， n 无限大， 则 n ≈ n + 1(排除低阶项）， 则此算法的时间复杂度为 T(n) =  O(f(n)) = O(n).

算法二 （平方级别）：

1 for (int i = 0; i < N; i++)
2 {
3     for (int j = i + 1; j < N; j++)
4      {
5          x  += j    //  执行 n + (n - 1） + （n - 2) + ...... + 1 次
6     }
7 }

算法执行 n(n + 1)/2 次， 排除系数以及低阶项， 算法复杂度T(n) =  O(n²).

算法三 （指数级别） ：

 1 // 二分查找, x[n] 为递增数组, 求数组中值等于 p 的下标。
 2 left = 0;
 3 right = n - 1;
 4 while (left <= right)
 5 {
 6     mid = (left  + right)/2;
 7
 8     case:
 9             x[mid] < t : left = mid + 1;
10             x[mid] = t : p = mid; break;
11             x[mid] > t : right = mid - 1;

共同 n 个元素， 二分执行，剩余元素依次为 n/2¹, n/2²/, n/2³,  n/2^k ，其中 k 为程序执行次数。

令   n/2^k  = 1， 则 n = 2^k,  k = logⁿ, 复杂度 O = (logⁿ).