高斯消元问题类型:
用LCM 保持整型
1. 基本的高斯消元,裸模板 HDU3359
2. 开关问题,用^操作代替 -, 求x[i]时候一样用* poj 1222 1830 1753
3. 枚举自由变元, return -1 是因为出现[0,0,0,0,a]这种情况,return 0 是唯一解,否则是有自由变元
4. 取模方程 (a1*x1+a2*x2...)%P=b在初等行变换后，每次进行消元的时候将所有值模P，最后求解回带的时候利用扩展欧几里得来对每一个ai求一个最小的可行解
3*a4 % P = t4，可以表示成3*a4 + K*P = t4 ,d=exgcd(a[i][i],mod,x,y); ans=ans/d*x; poj 2947
5. 线性基问题,异或运算中求可组成的第K大数.每个数就是equ 二进制位数为var ,消元成线性基. 比如n个数字,m个线性基.组成2^(n-m)个数字.这个K的二进制形式每个位
的权重刚好是线性基的顺序.如果有 0行,则0为第一小. 点击打开链接 SGU 275
6. 求电阻.依据KCL定理.每个节点电流流入流出相等.电路图是双向图,要从两个方面考虑.依据电流列等式,X[i]是电压.再设定一个0电压处.S流入为1,T流入为-1.
电流流出为正,流入为负(相反也行),x[u][v]++,x[v][u]++,x[u][u]--,x[v][v]--; 表示u这个点流入流出和值为0电流是双向的,所以双向. HDU 5006 HDU 3976 点击打开链接 点击打开链接
求解线性方程的结果会出现三种情况：无解，多解和唯一解。看下图
当某一行出现（0,0，……0，a) 时，方程无解。因为x1*0+x2*0+……+xn*0=a（a不为0）等式无解
当从某一行开始至最后一行，出现（0,0，……0）说明方程存在自由元，则会出现多解
当矩阵的秩等于等式个数时，有唯一解
poj 1753
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-8
const int MAXN=17;
int N,M,T;
int a[MAXN][MAXN],x[MAXN];
int free_x[MAXN],x_num;
int equ,var;
int Gauss(int (*a)[MAXN]){
int row,col;
x_num=0;
for(row=0,col=0;row<equ && col<var;row++,col++){
int mxr = row;
for(int i=row+1;i<equ;i++)
if( fabs(a[i][col]) - fabs(a[mxr][col]) >eps )
mxr=i;
if(mxr != row)
for(int i=row;i<var+1;i++) swap(a[row][i],a[mxr][i]);///
if(fabs(a[row][col])< eps){
free_x[x_num++]=col;row--;continue;
}
for(int i=row+1;i<equ;i++) if(fabs(a[i][col])>eps){
for(int j=col;j<var+1;j++)
a[i][j] ^= a[row][j];
}
}
for(int i=row;i<equ;i++)
if(a[i][var]>0) return -1;
if(row<var) return var-row;
for(int i=var-1;i>=0;i--) if(a[i][i]){
x[i]=a[i][var];
for(int j=i+1;j<var;j++) x[i]^=(a[i][j] * x[j]);
}
return 0;
}
char G[4][4];
int b[MAXN][MAXN];
int solve(int (*a)[MAXN]){
int t=Gauss(a);
int ans=0;
if(t==-1) return inf;
if(t==0) {
for(int i=0;i<var;i++) if(x[i]) ans++;
return ans;
}
///枚举自由变元
ans=inf;
for(int i=0;i<(1<<t);i++){
int cnt=0;
for(int j=0;j<t;j++)
if(i&(1<<j))
x[free_x[j]]=1,cnt++;
else x[free_x[j]]=0;
for(int j=var-t-1;j>=0;j-- ){
int idx;
for(idx=j;idx<var;idx++) if(a[j][idx])
break;
x[idx]=a[j][var];
for(int l=idx+1;l<var;l++)
x[idx] ^=a[j][l] * x[l];
cnt+=x[idx];
}
ans=min(ans,cnt);
}
return ans;
}
int main()
{
equ=16,var=16;
for(int i=0;i<4;i++)
gets(G[i]);
int ans=inf;
memset(a,0,sizeof(a));
memset(b,0,sizeof(b));
for(int i=0;i<16;i++){
a[i][i]=b[i][i]=1;
if(G[i/4][i%4]=='b') a[i][16]=0,b[i][16]=1;
else a[i][16]=1,b[i][16]=0;
}
for(int i = 0;i < 4;i++)
for(int j = 0;j < 4;j++){
int t = i*4+j;
if(i > 0)b[(i-1)*4+j][t]=a[(i-1)*4+j][t] = 1;
if(i < 3)b[(i+1)*4+j][t]=a[(i+1)*4+j][t] = 1;
if(j > 0)b[i*4+j-1][t]=a[i*4+j-1][t] = 1;
if(j < 3)b[i*4+j+1][t]=a[i*4+j+1][t] = 1;
}
// for(int i=0;i<16;i++)printf("%d ",a[i][16]);cout<<endl;
// for(int i=0;i<16;i++)printf("%d ",b[i][16]);cout<<endl;
ans=solve(a);
ans=min(ans,solve(b));
if(ans==inf) printf("Impossible\n");
else printf("%d\n",ans);
return 0;
}
poj 2947
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-8
const int MAXN=400;
int N,M,T;
int a[MAXN][MAXN],x[MAXN];
int free_x[MAXN],x_num;
int equ,var;
inline int gcd(int a,int b){
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
inline int lcm(int a,int b){
return a/gcd(a,b)*b;
}
int expgcd(int a,int b,int &x,int &y){
int q,tmp;
if(b==0){
q=a;x=1;y=0;
return q;
}
q=expgcd(b,a%b,x,y);
tmp=x;x=y;
y=tmp-(a/b)*y;
return q;
}
int Gauss(int (*a)[MAXN]){
int row,col;
x_num=0;
for(int i=0;i<=var;i++)
free_x[i]=1;
for(row=0,col=0;row<equ && col<var;row++,col++){
int mxr = row;
for(int i=row+1;i<equ;i++)
if( fabs(a[i][col]) - fabs(a[mxr][col]) >eps )
mxr=i;
if(mxr != row)
for(int i=row;i<var+1;i++) swap(a[row][i],a[mxr][i]);///
if(fabs(a[row][col])< eps){
free_x[x_num++]=col;row--;continue;
}
for(int i=row+1;i<equ;i++) if(fabs(a[i][col])>eps){
int LCM=lcm(abs(a[i][col]),abs(a[row][col]));
int ta=LCM/abs(a[i][col]);
int tb=LCM/abs(a[row][col]);
///if(a[i][col]*a[row][col]<0) tb=-tb;
for(int j=col;j<var+1;j++)
a[i][j] = ((a[i][j]*ta-a[row][j]*tb)%7+7)%7;
}///用LCM的方法是因为要保持整型
}
for(int i=row;i<equ;i++)
if(a[i][var]>0) return -1;
if(row<var){///这样标记自由变元的方法避免了列移动
for(int k=row-1;k>=0;k--){
x_num=0;
int idx;
for(int j=0;j<var;j++)
if(a[k][j]>eps && free_x[j]) x_num++,idx=j;
if(x_num>1) continue;
int tmp=a[k][var];
for(int j=0;j<var;j++) if(a[k][j]>eps && j!=idx)
tmp =((tmp - a[k][j]*x[j]%7)+7)%7;
x[idx]=(tmp/a[k][idx])%7;
free_x[idx]=0;
}
return var-row;
}
for(int i=var-1;i>=0;i--){
int tmp=a[i][var];
for(int j=i+1;j<var;j++)
tmp =((tmp - a[i][j]*x[j]%7)+7)%7;
while(tmp%a[i][i]) tmp+=7;
x[i]=(tmp/a[i][i])%7;
if(x[i]<3) x[i]+=7;
}
return 0;
}
int solve(int (*a)[MAXN]) {
int t=Gauss(a);
int ans=0;
if(t==-1) return inf;
if(t==0) {
for(int i=0;i<var;i++) if(x[i]) ans++;
return ans;
}
///枚举自由变元
ans=inf;
for(int i=0;i<(1<<t);i++){
int cnt=0;
for(int j=0;j<t;j++)
if(i&(1<<j))
x[free_x[j]]=1,cnt++;
else x[free_x[j]]=0;
for(int j=var-t-1;j>=0;j-- ){
int idx;
for(idx=j;idx<var;idx++) if(a[j][idx])
break;
x[idx]=a[j][var];
for(int l=idx+1;l<var;l++)
x[idx] ^=a[j][l] * x[l];
cnt+=x[idx];
}
ans=min(ans,cnt);
}
return ans;
}
int tans(char *s){
if(s[0]=='M') return 1;
else if(s[0]=='W') return 3;
else if(s[0]=='F') return 5;
else if(s[0]=='T' && s[1]=='U') return 2;
else if(s[0]=='T' && s[1]=='H') return 4;
else if(s[0]=='S' && s[1]=='A') return 6;
else return 7;
}
int main() {
while(~scanf("%d%d",&N,&M) && N+M){
memset(a,0,sizeof(a));
for(int i=0;i<M;i++){
int n;
char s1[10],s2[10];
scanf("%d%s%s",&n,s1,s2);
a[i][N]=(tans(s2)-tans(s1)+8)%7 ;
for(int j=0;j<n;j++){
int t;
scanf("%d",&t);
a[i][--t]++;
a[i][t]%=7;
}
}
equ=M,var=N;
int ans=Gauss(a);
if(ans==-1) puts("Inconsistent data.");
else if(ans>0) puts("Multiple solutions.");
else {
for(int i=0;i<N;i++)
if(i==N-1) printf("%d\n",x[i]);
else printf("%d ",x[i]);
}
}
return 0;
}
HDU3976
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
const double eps = 1e-8 ;
using namespace std;
int T ,cas ,N,M;
double mat[55][55] ;
double ans[55] ;
void gauss(){
int row, col ;
row = col = 0 ;
for( ;row<N && col<N;row++,col++){
int max_r = row ;
for(int i=row+1;i<N;i++){
if(fabs(mat[max_r][col]) < fabs(mat[i][col]) ) max_r = i ;
}
if(max_r != row){
for(int j=col;j<=N;j++){
swap(mat[row][j] ,mat[max_r][j] );
}
}
for(int i=row+1;i<N;i++){
if(fabs(mat[i][col]) < eps) continue ;
double a = - mat[i][col] / mat[row][col] ;
for(int j=col;j<=N;j++){
mat[i][j] += mat[row][j]*a ;
}
}
}
memset(ans , 0 ,sizeof(ans)) ;
for(int i=row-2;i>=0;i--){
double res = mat[i][N] ;
for(int j=i+1;j<N;j++){
res -= mat[i][j]*ans[j];
}
ans[i] = res / mat[i][i] ;
}
printf("%.2f\n",ans[0]-ans[N-1]);
}
int main(){
scanf("%d",&T);
cas = 0 ;
while(T--){
++cas ;
scanf("%d %d",&N,&M);
memset(mat , 0 ,sizeof(mat));
for(int i=0;i<M;i++){
int a,b, c;
scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
a -- ; b-- ;
mat[a][a] -= 1.0/(c*1.0) ;
mat[b][b] -= 1.0/(c*1.0) ;
mat[a][b] += 1.0/(c*1.0) ;
mat[b][a] += 1.0/(c*1.0) ;
}
mat[0][N] = -1 ;
mat[N-1][N] = 1 ;
printf("Case #%d: ",cas);
gauss() ;
}
return 0;
}
时间： 2024-11-08 23:34:07