真题

证明函数不等式

一定要时刻明白自己在证什么！！！

证明函数不等式常用的有以下五种方法：

• 利用函数单调性
• 利用拉格朗日中值定理
• 利用函数的最大最小值
• 利用泰勒公式
• 利用凹凸性（定义或性质）

利用单调性

利用拉格朗日中值定理

利用函数的最大最小值

利用泰勒公式

利用凹凸性（定义或性质）

方程根的存在性与个数

方程根的问题通常是两个基本问题：

• 根的存在性问题：
  • 利用连续函数的零点定理
    若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，则方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个实根；
  • 利用罗尔定理（导函数的零点定理）
    若F(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件，且F‘[x]=f(x),x∈(a,b)，则方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个实根。
• 根的个数：
  • 利用函数的单调性：
    若f(x)在(a,b)内单调（可通过f‘(x)>0或f‘(x)<0判定），则方程f(x)=0在(a,b)内最多一个实根。
  • 利用罗尔定理的推论：
    若在区间I上\(f^{(n)}(x)≠0\)，则方程f(x)=0在(a,b)内至多n个实根。

微分中值定理有关的证明题

微分中值定理证明题通常主要是三类问题：

• 证明存在一个点ξ，使\(F[ξ,f(ξ),f'(ξ)]=0\)：
  • 这类问题一般是构造辅助函数用罗尔定理
  • 或用拉格朗日中值定理
  • 常见的辅助函数有：

  要证明的结论-----------	可考虑的辅助函数
  \(ξf'(ξ)+f(ξ)=0\)	\(xf(x)\)
  \(ξf'(ξ)+nf(ξ)=0\)	\(x^nf(x)\)
  \(ξf'(ξ)-f(ξ)=0\)	\({f(x)} \over {x}\)
  \(ξf'(ξ)-nf(ξ)=0\)	\({f(x)} \over {x^n}\)
  \(f'(ξ)+λf(ξ)=0\)	\(e^{λx}f(x)\)
  \(f'(ξ)+f(ξ)=0\)	\(e^xf(x)\)
  \(f'(ξ)-f(ξ)=0\)	\(e^{-x}f(x)\)

• 证明存在两个点ξ,η（双中值），使\(F(ξ,f(ξ),f'(ξ),η,f(η),f'(η))=0\)（一阶），可分为两种问题
  • 不要求ξ≠η：
    这种问题通常是在同一区间[a,b]上用两次微分中值定理（即 拉格朗日中值定理或推广（如柯西中值定理）），一般是用拉格朗日中值定理和柯西中值定理，具体如何用要将要证结论中含有ξ的项和含有η的项分离开，然后再确定。
  • 要求ξ≠η：
    这种问题不能再同一区间[a,b]上用两次中值定理，因为无法证明ξ≠η.通常要将原区间[a,b]分成两个区间[a,c]和[c,b]，然后在[a,c]和[c,b]上分别用拉格朗日中值定理。这里分点c的选取是关键（一般中题目有提示，注意观察）
• 有关泰勒中值定理的证明题：
  一般说来，当题设条件或要证的结论中出现二阶或二阶以上导数往往要用泰勒中值定理。

与定积分有关的证明题

有关定积分的证明题，常见是两类问题，证明与定积分有关的等式或不等式，在证明中常用的结论是积分不等式性质和积分中值定理。

• 证明积分等式的常用方法：
  • 换元法；
  • 分部积分法，特别是被积函数中出现f(x)的导数时；
  • 利用积分中值定理。
• 证明积分不等式的常用方法：
  • 利用积分不等的性质；
  • 利用积分中值定理；
  • 将积分上限换为x，转化为证明函数不等式。

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等式问题→零点问题

证明存在ξ∈[a,b]，使f(ξ)=f(ξ+(b-a)/2).
设F(x)=f(x)=f(x+(b-a)/2),x∈[a,b]，则。。。（零点问题）

• 零点定理
• 罗尔定理

原文地址：https://www.cnblogs.com/blknemo/p/11583573.html