树的定义和基本概念

数的定义

计算机世界的树是从自然界实际的树抽象而来的，指的是n个有父子关系的节点组成的有限集合。

树的递归定义：

树(Tree)是n(n≥0)个结点的有限集T，T为空时称为空树，否则它满足如下两个条件：

1. 有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点；
2. 其余的结点可分为m(m≥0)个互不相交的子集Tl，T2，…，Tm，其中每个子集本身又是一棵树，并称其为根的子树(Subree)。

   注意：

   树的递归定义刻画了树的固有特性：一棵非空树是由若干棵子树构成的，而子树又可由若干棵更小的子树构成。

常用术语

1. 节点的度（degree）：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
2. 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
3. 叶节点或终端节点：度为零的节点；
4. 非终端节点或分支节点：度不为零的节点；
5. 父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
6. 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
7. 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
8. 节点的层次（level）：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
9. 树的高度或深度：树中节点的最大层次；
10. 堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟；
11. 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
12. 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
13. 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；

树的种类

• 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树；
• 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树；
  • 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；
    • 完全二叉树：对于一颗二叉树，假设其深度为d（d>1）。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树；
    • 满二叉树：对于上述的完全二叉树，如果去掉其第d层的所有节点，那么剩下的部分就构成一个满二叉树（此时该满二叉树的深度为d-1）；
  • 霍夫曼树：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树；

树的基本操作

• 初始化：通常是一个构造器，用户构建一个空的树，或者以指定节点为根来构建树
• 为指定节点添加子节点
• 判断树是否为空
• 获取根节点
• 获取指定节点（非根节点）的父节点
• 获取指定节点（非叶子节点）的所有叶子节点
• 获取树的深度
• 输出树
• 删除子树
• 遍历树

树的存储方法

• 父节点表示法：每个子节点都记录它的父节点
• 每个非叶子节点通过一个链表来记录它所有的子节点

下一节通过具体的Java程序来实现这两种存储。

树的定义和基本概念