题目描述:这里
这道题是网络流问题中第一个难点,也是一个很重要的问题
如果直接建图感觉无从下手,因为如果不知道放几个球我就无法得知该如何建图(这是很显然的,比如我知道$1+48=49=7^2$,可是我都不知道是否能放到第48个球,那我怎么知道如何建边呢?)
所以这时就体现出了一个很重要的想法:枚举答案!!!
我们知道,正常有二分答案的做法,可以二分一个答案然后检验
这里用类似的想法,但由于答案比较小而且建图更方便,所以我们直接从小往大枚举答案即可
之所以建图更方便,是因为如果我们从小向大枚举答案,那么原先建好的边是不用动的,因为原先的球一定要放,所以我们只需研究新来的球就可以了
而且还有一个好处,就是这样的话我们只需在残余网络上跑最大流,所以速度会更快一些?(口胡)
这里还有一个问题:如何建图?
直接从源点向新来的球连边,然后由新来的球向汇点连边,容量为1?
那这最大流不是要多少有多少的吗......
所以这样做显然不正确
正确的做法:把一个球拆成两个(设为x与y),然后由源点向x连边,容量为1,由y向汇点连边,容量为1,
接下来,我们找出所有满足与当前球编号和为完全平方数的球,将当前球的x点向那些球的y点连边,容量为1
然后每次在残余网络上跑最大流,如果最大流为0则说明需要新加一个柱子,加到柱子数超过给出的即结束
稍微解释一下这种做法的原因:我们把球拆成两个点以后,可以看做是一个球的上下两面,x表示与原先有的球相接,y表示在它上面放新的球的能力。
这样的话,我们把新来的x与原先合法的y相连后跑最大流,如果新的最大流不为0,说明这个新来的球能成功地放在一个原有的球上(这是因为最大流不为0说明了一条原来由某个y指向汇点的边本来流量是0,但现在流量变成了1而且保证了原有流量不变,这也就说明新来的球放在了一个柱上)
那么就自然是合法的了
然后是下一个问题(所以说这道题是好题,因为有很多个问题)
如何输出方案?
基于上面的解释,输出方案就变得简单了:我们从小往大枚举每个球,如果这个球还没被放在一个柱上则新开一个柱,然后顺着这个球的y点向下寻找,每找到一个没放下的点就放在这个柱上即可
可能说的有些抽象,具体解释一下:
我们从y点向外找边,是因为从y出发的边只要终点不是汇点那么一定是反向边!
如果反向边容量不为0,说明对应的正向边有1的流量,也就说明这个点之上被放上了一个点!
那么我们只需找出这个点,然后向下递归即可
注意找到一个点即可结束本层的寻找,因为一个球上最多只能放一个球啊
#include <cstdio> #include <cmath> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <iostream> #include <algorithm> #include <queue> #include <stack> using namespace std; const int inf=0x3f3f3f3f; struct Edge { int next; int to; int val; }edge[2000005]; int head[10005]; bool used[10005]; int cur[10005]; int cnt=1; int st,ed; int n; int dis[10005]; void init() { memset(head,-1,sizeof(head)); cnt=1; } void add(int l,int r,int w) { edge[cnt].next=head[l]; edge[cnt].to=r; edge[cnt].val=w; head[l]=cnt++; } int ide(int x) { return (x&1)?x+1:x-1; } bool bfs() { memcpy(cur,head,sizeof(head)); memset(dis,0,sizeof(dis)); queue <int> M; M.push(st); dis[st]=1; while(!M.empty()) { int u=M.front(); M.pop(); for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next) { int to=edge[i].to; if(edge[i].val&&!dis[to])dis[to]=dis[u]+1,M.push(to); } } return dis[ed]; } int dfs(int x,int lim) { if(x==ed)return lim; int ret=0; for(int i=cur[x];i!=-1;i=edge[i].next) { int to=edge[i].to; if(edge[i].val&&dis[to]==dis[x]+1) { int temp=dfs(to,min(lim,edge[i].val)); if(temp) { lim-=temp; ret+=temp; edge[i].val-=temp; edge[ide(i)].val+=temp; if(!lim)break; } } cur[x]=i; } return ret; } int dinic() { int ret=0; while(bfs())ret+=dfs(st,inf); return ret; } void print(int x) { used[x]=1; printf("%d ",x); for(int i=head[(x<<1)|1];i!=-1;i=edge[i].next) { int to=edge[i].to; if(!edge[i].val||used[to>>1]||to==ed)continue; print(to>>1); break; } } int main() { scanf("%d",&n); init(); int tot; st=0,ed=1; int s=0; for(tot=1;tot;tot++) { add(st,tot<<1,1); add(tot<<1,st,0); add((tot<<1)|1,ed,1); add(ed,(tot<<1)|1,0); for(int j=1;j*j<2*tot;j++) { if(j*j>tot)add(tot<<1,((j*j-tot)<<1)|1,1),add(((j*j-tot)<<1)|1,tot<<1,0); } if(!dinic())s++; if(s>n)break; } printf("%d\n",tot-1); for(int i=1;i<tot;i++) { if(used[i])continue; print(i); printf("\n"); } return 0; }
原文地址:https://www.cnblogs.com/zhangleo/p/10768186.html