[家里蹲大学数学杂志]第036期泛函分析期末试题

1 (15 分) 设 H

是 Hilbert 空间, l

为 H

上的一实值线性有界泛函, C

是 H

中一闭凸子集,

f(v)=12||v||2?l(v)(? v∈C).

求证:

(1) 对任意 H

上线性有界泛函 g

, ? u0∈H

, 使得 f(u0)=g(u0)

;

(2)? u1∈C

, 使得

f(u2)=infv∈Cf(v);

(3)讨论 g, u0, u1

之间的关系.

2(15 分) 设 H

是 Hilbert 空间, T:H→H

是线性算子且满足

(Tx,y)=(x,Ty)(? x,y∈H).

求证:

(1)T∈L(H)

;

(2)T?=T

, 此时称 T

为自共轭算子;

(3)若 R(A)ˉˉˉˉˉˉˉˉ=H

, 则对 ? y∈R(A)

, 方程

Ax=y

存在唯一解.

3(15 分) 证明:

(1)若 p≤q

, 则 lp?lq

;

(2)l∞

不可分;

(3)l1

不自反.

4(10 分) 设 φ∈C[0,1]

, T: L2[0,1]→L2[0,1]

是由

(Tf)(x)=φ(x)∫10φ(t)f(t) dt(? f∈L2[0,1])

给出的线性算子. 求证:

(1)T

是自共轭算子 (定义见题2);

(2)? λ≥0

, 使得 T2=λT

, 由此求出 T

的谱半径 rσ(T)

.

5(10 分) 设 X

是自反的 Banach 空间, A?X

. 证明:

(1)A

弱列紧的充分必要条件是 A

有界;

(2) 若 A

弱列紧的, 则 A

的凸包

co(A)={∑i=1nλixi; ∑i=1nλi=1, λi≥0, xi∈A, i=1,2,?,n, n∈N}

也是弱列紧的.

6(10 分) 证明:

(1)在 Hilbert 空间 H

中, xn→x0

的充分必要条件是

||xn||→||x0||,xn?x0;

(2)在 L2[0,1]

中, fn→f

的充分必要条件是

fn?f,f2n??f2.

7(8 分) 设 H

是 Hilbert 空间, H0

是 H

的闭线性子空间, f0

是 H0

上的线性有界泛函. 证明: ? H

上的线性有界泛函 f

, 使得

f(x)=f0(x)(? x∈H0),

||f||=||f0||.

8(8 分) 设 X, Y

是 Banach 空间, T

是 X

到 Y

的线性算子, 又设对 ? g∈Y?

, g(Tx)

是 X

上的线性有界泛函, 求证: T

是连续的.

9(9 分) 设 C[a,b]

是连续函数空间, 赋以最大值范数

||x||∞=supt∈[a,b]|x(t)|(? x∈C[a,b]).

设 {xn}?C[a,b]

x∈C[a,b]

. 求证: xn?x

的充分必要条件是

limn→∞xn(t)=x(t),? t∈[a,b]∩Q,

且

supn≥1||xn||∞<∞.

应老师要求, 出了一份泛函分析期末试卷,
主要针对张恭庆泛函分析第二章. 自己写完后也感觉太难了. 不过还是保留了做个纪念. 下次修改后再发终结版.