[图形学] 《Real-Time Rendering》碰撞检测（一）

原文有35页，容我慢慢翻译，第一部分翻译了10页

reference:《Real-Time Rendering》

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把东西击倒，尤其是在一些很突出的角度上，是一件极大的乐事。

——乔治·桑塔耶拿

碰撞检测是许多计算机图形应用基础而又重要的部分。它在虚拟操控，CAD/CAM，计算机动画，物理建模，游戏，飞行和驾驶模拟，机器自动，路径和运动规划（公差验证），装配（？？），以及几乎所有虚拟现实的模拟中扮演着重要的角色。由于它广泛的使用，碰撞检测仍然是人们不断扩展研究的课题。

碰撞检测是适用于碰撞处理的一部分，碰撞处理可以分为三个部分：碰撞检测，碰撞计算，碰撞响应。碰撞检测的结果通常是一个布尔量，它告知了是否存在两个或者更多的物体相撞；而碰撞计算求出物体间碰撞的实际交点；最终，碰撞响应决定针对两个物体的碰撞，该采取什么样的行动。

在第一部分我们讨论简单而又相当快的碰撞检测技术。主要的想法是用线的集合来近似一个复杂的物体。这些线条将和场景中的基本体检测交点。这一技术在游戏中非常常见。另外一个近似的方法将会在第二部分介绍，在这里我们使用了BSP树来表达场景，一个角色可能是由圆柱体来表达的。然而，所有的物体不总是能够被近似表达为直线或者圆柱体，有一些应用也许需要更精确的检测。

想象一下，例如，我们想要决定一个三维的手撞上（拿起）一个三维的茶杯，两个物体都是由三角形网格表达的。这将如何有效地完成呢？当然，手的每个三角形都需要和茶杯的每个三角形进行相交检测。但是在这个例子里，如果两个物体隔得很远，这个算法应当快速地发现这一点，然后不再进行繁重的计算。哪怕物体已经靠的足够近了，大量的检测依然是不高效的。我们需要一个能够快速完成这个例子的算法。很容易想出碰撞检测更复杂的情节，下图显示了这样的一个复杂例子。

左图中，计算的是许多障碍物之间以及与环境的碰撞检测和响应；右图中，则更加混乱。(左图来自Crytek，右图来自Valve Corp)

第三部分描述了通用的，分层的包围盒碰撞检测算法。一个基于OBBs的特殊实现将在第四部分介绍。下面的特点应用于大多数碰撞检测系统：

○ 对于有大量多边形的模型，在相隔很远和距离很近时，它们都能完成交互速率（interactive rates？？？）

○ 它们能处理多边形集合。I.e，一般的没有凸面或有效邻接信息的约束的多边形模型。

○ 模型能进行刚体运动，i.e.旋转加上平移，甚至更一般类型的变形。

○ 它们提供有效的包围盒，试图把几何体集合包得更紧。小的包围盒提升了算法在判断两个物体是否相交时的表现。包围盒的创建速度也应当是较快的。

一个场景可能包含几十甚至上百个运动物体，一个好的碰撞检测系统将能很好地应对这一点。如果一个场景包含n个运动物体和m个静止物体，那么一个普通的方法将会在每一帧计算

个物体的检测。第一项对应着静止物体和运动物体碰撞的次数，下一项对应着运动物体之间的碰撞次数。最原始的方法随着m和n的增加，复杂度快速提升。在这种情况下我们需要更聪明的做法，这将在第五部分介绍。这样的一种方法通常使用这样的算法，首先检测所有可能存在的物体对物体的碰撞，然后再使用如第四部分介绍的OBB树算法来处理它们。

讨论完一系列碰撞检测之后，会有简短的部分介绍一些混杂的话题。及时的碰撞检测是一个在常数时间内进行近似碰撞检测的算法，它将在第七部分介绍。有时候我们期望得到两个物体的最短距离，这个话题将在研究了一些可变性物体后介绍。最终，碰撞响应将被简略地提及。

必须指出的是，碰撞检测的代价估计是非常困难的，因为算法是对实际碰撞场景敏感的，在所有的例子中，没有哪一种算法的表现是最好的。

和射线的碰撞检测

在这一章节，我们将会展示一个在特定情况下非常高效的技术。想象一辆在倾斜面上驾驶的汽车，我们想要用道路的信息（i.e.道路建造的基元）来引导车子向上。当然，这可以通过检测车轮所有基元与道路所有基元来完成，这个方法会在第三部分介绍。但是，对于游戏或者其它应用场合，我们不总是需要这种精细的碰撞检测。反之，我们可以用射线集合来近似一个运动物体。在车的例子里，我们可以在四个轮子中的每个轮子放置一条射线。这个近似在实际中的表现非常好，只要这四个轮子是车辆和外界（地面）接触的唯一位置。假设车辆一开始处在一个平面上，那么我们可以在每个车轮上放置一条射线，每条射线的原点处在车辆和环境接触的那个位置。轮子上的射线将会和环境进行相交测试。如果射线原点到环境的距离为0，那么这个轮子就恰在地面上。如果距离大于0，那么轮子和环境没有接触，一个负距离意味着轮子已经穿过了环境。这一应用中，可以使用距离来计算碰撞响应——一个负距离将会让车子（在那个轮子处）向上，而一个正距离将会让车子向下（除非车子在空中飞了短暂的时间）。注意这一类型的技术很难应用于更加复杂的场景。例如，如果车子在旋转运动中发生撞击，我们需要更多不同方向的射线。

为了加速这一相交检测，我们可以使用常用于计算机图形学中加速的一个技术——多层次表示法（hierarchical representation）。这个场景可以使用沿坐标轴的BSP来表达（它和K-D树一样）。BSP树在14章中有介绍，在那里它被用于视锥体裁剪。BSP树同样也可以用于加速相交检测。根据这个场景中使用了哪种类型的基元，我们使用不同的射线对象相交检测技术（看16章）。BSP树并不是唯一的用于快速找到相交的表达方式，一个包围盒层同样也是有用的。

和标准的光线追踪里我们要找到离光线最近的物体不同，我们实际上需要的是沿着射线最后的交点，有时距离可能是负的。为了避免处理射线时在两端搜寻，测试射线的原点将会后移，直到它处在环境中的包围盒外。实际上，这仅仅意味着，射线不再是从距离0处开始，而是从一个负距离开始，并且处在包围盒之外。为了处理更一般的情况，例如在隧道里开车并且和屋顶做碰撞检测，我们不得不从两个方向进行搜索。

使用BSP树的动态碰撞检测算法

在这里，将会介绍由Melax提出的碰撞检测。它通过BSP树来决定几何物体之间的碰撞，碰撞的物体可以是球体，圆柱体或者其他凸表面的物体。它同样也支持动态的碰撞检测。例如，这个算法可以检测到沿着点p0到p1的直线段上有无碰撞检测发生。这里演示的算法已经被用于一些商业游戏，在那里，一个角色的几何形体被近似表达为一个圆柱体。

标准的BSP树可以高效地用于线段的测试。一个线段可以表示为一个点（粒子）从p0移动到p1。这里也许会有一些相交，第一个交点（如果有的话）表达了点和BSP树中物体的相交。注意到，在这个例子中，BSP树是沿表面对齐的，而不是沿坐标系对齐的。这也就是说，树中的每个平面与场景中的墙、地板或者天花板是对应的。我们可以很容易把一个点扩展成一个从p0到p1半径为r的球体。我们不再测试线段与BSP树中结点对应的平面，而是将每个平面都沿着平面法线方向移动了距离r。这个平面调节后的排序在下图中有进一步阐述。这将针对每个碰撞查询动态产生，所以一个BSP树可以被用于任意大小的球体。假设一个平面为那么调节后的平面为其中r的符号取决于你选择了平面的哪一侧来继续碰撞检测的搜索。假设角色在平面正半空间一侧，i.e.当时，我们从d中减去半径r。注意这时负的半空间被认为是实心（solid）的，一个角色无法立足的地方。

对于左边，从上方看有一些几何体(蓝色)，它的BSP如中间图所示。为了检测这个树与圆心在p的圆形，BSP树将向外生长圆的半径的长度，然后就可以改为检测点p和生长后的bsp树。这在右图中展示。注意角落应当是圆滑的，所以这是这个算法的一个近似。

一个球体无法很好地近似游戏中的角色。角色顶点的凸包或者包围着角色的圆柱体会有更好的效果。为了使用这些不同的包围盒，平面方程中的d需要修改成不同的样子。为了检测对BSP树移动的点集合的凸包S，我们把下面这个方程的标量加到平面方程中的d值上。

再一次指出，这个减法符号意味着角色处在平面的正半空间。点p0可以是任意适合作为参照点的点。对于球体而言，我们通常选择球体的中心。对于一个角色来说，我们通常使用接近脚的一个点，或者也许是肚脐上的一个点。有时候这个选择可以简化方程(正如选在球体中心那样）。我们和BSP树检测的就是点P0,。对于动态查询，也就是说，在一帧内角色从一个点走向了另一个点，点p0将被作为这个线段的起始点。假设角色在一帧内行走了向量w，那么这个线段的终点就是p1 = p0 + w。

圆柱体也许是更有用的，因为它检测起来更快，而且依然能够很好地近似游戏中的角色。但是，这将会涉及到更多平面方程的调整值的衍生。在这个算法中，我们一般做的是把BSP树的包围盒（球体，凸包，圆柱体，在这个例子中）的测试改为调整的BSP树中的点P0的测试。这基本上和闵可夫斯基和(Minkowski Sum)是一样的。然后，为了把这个扩展到运动物体上，我们把点p0换为从p0到目的点p1的线段的检测。

我们对一个圆柱体扩展这样一个测试，它的性质在下图中显示。参照点p0处在圆柱底面的中心。图b显示了我们想要解决的：检测圆柱体和平面。在图c中，我们移动平面使得它刚好与圆柱体接触。然后我们计算从接触点到点p0的距离e。距离e将用于图d中将平面移动到新的位置。e的值是在每一帧对每个平面动态计算的。事实上，首选被计算的是从p0到点t的一个向量，t也就是平面和圆柱的交点。这在图c中显示。接下来，这样计算e：

现在，还剩下t需要计算。t的z分量（i.e.圆柱坐标方向）非常简单：如果nz > 0 , 那么, i.e.p0的z分量。否则，。tz的值对应着圆柱体的底部和顶部。 如果nx和ny的值都是0(e.g.对于地面或者天花板)，那么我们使用圆柱盖上的任一顶点。一个自然的选择是(tx,ty)
= (px,py)，也就是圆柱盖的中心。否则，对于一个不垂直的n，下面的选择将会给出圆柱盖边缘上的一点：

也就是说，我们把平面法线放置在x-y平面上，标准化它，然后放大r倍使其放置在圆柱体的边缘。

在这种方法中可能会有误差。下图显示了这样一个例子。正如看见的那样，我们可以通过使用一些额外的斜平面来解决这一问题。实际上，我们计算出了两个相邻平面的“外”角，如果这个角度大于90，我们会插入一个额外的平面。这一方法是为了提高本该是圆角的近似度。在下图中，可以看到普通的BSP树和用斜面扩展的BSP树的区别。斜平面当然可以提高准确度，但是它不会减少任何错误。

在左图中，右边的球体正确地碰撞，而左边的球体则过早地检测到了碰撞；在右图中，这通过增加了一个额外的斜平面来解决，它事实上不对应着任何真实的几何体。正如我们所见，碰撞检测在使用了这样的一个平面后已经正确了。

下面给出了这个碰撞检测算法的伪代码。它调用了BSP树的根N，它有N个正的孩子和N个负的孩子，线段由p0和p1定义。注意撞击的点(如果存在的话)将会返回一个叫做的全局变量：

HitCheckBSP(N,p0,p1)
returns ( {TRUE, FALSE} );
if(not isSolidCell(N)) return FALSE;
else if ( isSolidCell(N))
    pimpact = p0
    return true;
end
hit = FALSE;
if(clipLineInside(N shift out, p0, p1, &w0, &w1))
    hit = hitCheckBSP(N.negativechild, w0, w1);
    if(hit) p1 = pimpact
end
if(clipLineOutside ( N shift in, p0, p1, &w0, &w1))
    hit = hitcheckBSP(N.posivtivechild, w0, w1);
end
return hit;

如果到达了叶子节点，函数isSolidCell就返回真，这时候我们处在实心的位置（与空心相对）。下图中解释了空心和实心状态。如果线段的部分（由运动路径v0和v1决定）处在结点转换平面的内部，函数clipLineInside返回真，也就是说，它处在负半空间。它同样裁剪了处在结点转换平面之外的线段，并且返回在w0和w1之间的线段结果。函数clipLineOutside是类似的。注意函数clipLineInside和clipLineOutside返回的线段是相互覆盖的。第9行设置v1 =，这仅仅是一个优化。如果碰撞发生了的话，那么一个潜在的碰撞点，，除了这个点之外不需要再测试其它点了，因为我们想要的就是碰撞的第一个点。在第7和第11行，N从“外部”转换到了“内部”。这种转化是指来自球体，凸包，以及圆柱体的调节后的平面方程。

对于左图，由p0p1定义的线段被由法线n定义的平面裁剪。平面的动态调整由虚线显示。函数clipLineInside和clipLineOutside返回由w0和w1定义的线段。注意到三条线段都本应该有相同的y坐标值，但是为了更清晰的表达它们被显示成这样。对于右图，显示了一个例子，它解释了为什么直线应当被裁剪成左边的样子。BSP树中的结点A同时属于左右两个三角形。所以，有必要移走它两个方向的平面。

Melax已显示这个算法相比起不使用动态调整平面的算法要昂贵2.5到3.5倍。这是因为在找合适的调整时有过多的计算。哪怕这样的慢速问题可能看起来很严肃，Melax指出这在环境中表现得并不那么差。一帧通常花费33,00us(30fps)来计算，而它最复杂的碰撞查询花费66us.这一策划的有点在于我们只需要单一的BSP树就能检测所有角色和对象。而其替代算法则需要为每个不同的半径以及对象类型存储不同的BSP树。