求欧拉函数φ

O()√时间复杂度的算法

首先我们要求φ(x)，可以先将其分解成∏(apii)的形式，其中a是素数。

然后可以推导出公式φ(x)=∏(apii?api?1i)

然后这个可以实现为φ(x)=x/∏(ai?1)

这样就可以在√时间内出解了。

线性时间复杂度的算法

线性筛！

因为欧拉函数是积性函数，所以我们可以采用线性筛。

过程见下方代码getphi()函数。

基于欧拉函数的求逆元

首先有欧拉公式 xφ(p)%p==1

所以x?xφ(p)?1%p==1

这样xφ(p)?1就是x在mod p 意义下的逆元。

O(log)时间复杂度求逆元

不考虑求φ，我们通过快速幂求逆元的时间复杂度是O(log)级别的

线性时间复杂度的算法

同样是线性筛，代码在下面。

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 1001000
using namespace std;
int Phi(int x)
{
    int i,ans=x;
    for(i=2;i*i<=x;i++)if(x%i==0)
    {
        ans/=i,ans*=i-1;
        while(x%i==0)x/=i;
    }
    if(x>1)ans/=x,ans*=x-1;
    return ans;
}
int prime[N],phi[N],num;
bool vis[N];
void getphi(int n=1000000)
{
    int i,j,k;
    phi[1]=1;
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i])prime[++num]=i,phi[i]=i-1;
        for(j=1;j<=num;j++)
        {
            k=i*prime[j];
            if(k>n)break;
            vis[k]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[k]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            phi[k]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
    return ;
}
long long inv[N],p;
long long power(long long x,int k)
{
    long long ans=1;
    while(k)
    {
        if(k&1)ans=ans*x%p;
        x=x*x%p,k>>=1;
    }
    return ans;
}
long long Inv(long long x){return power(x,phi[p]-1);}
void getinv(int n=1000000)
{
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        inv[i]=(long long)(p-p/i)*inv[p%i]%p;
}
int main()
{
    scanf("%d",&p);
    getphi();
    getinv();
}