最小编辑距离

概念

编辑距离（Edit
Distance），又称Levenshtein距离，是指两个字串之间，由一个转成另一个所需的最少编辑操作次数。许可的编辑操作包括将一个字符替换成另一个字符，插入一个字符，删除一个字符。

例如将kitten一字转成sitting：

sitten （k→s）

sittin （e→i）

sitting （→g）

俄罗斯科学家Vladimir Levenshtein在1965年提出这个概念。

算法

动态规划经常被用来作为这个问题的解决手段之一。

具体步骤是:
1.
建立个m*n的矩阵matrix，其中m=len(a)+1n=len(b)+1。这样，二维数组的范围就是
matrix[0...n-1][0...m-1]了。
2.
给matrix[0][0...m-1]赋值为0...m-1matrix[0...n-1][0]赋值为0...n-1
3.
遍历matrix[0...n-1][0...m-1]
matrix每个元素的值都为:
min\left\{\begin{array}{lll}matrix[i-1][j]+INSERT\_COST
\\matrix[i][j-1]+DELETE\_COST\\matrix[i-1][j-1]+SUBSTITUTE\_COST(source_i
target_j)\end{array} \right.
其中，INSERT_COST，DELETE_COST
都是固定值(可以自己设定12什么的)。
而SUBSTITUTE_COST是需要判断的。
当source_i和target_i的值是等价的时候，SUBSTITUTE_COST就是0否则SUBSTITUTE_COST就是预定义的一个权值。
最后matrix[n-1][m-1]的值则为两个字符串的最小编辑距离。
改进
当source_i和target_i的值相同时，SUBSTITUTE_COST的值就是0，必然是最小值。所以首先判断两字符是否相等，若相等则直接判定matrix[i][j]=matrix[i-1][j-1]，判断下个。这样可以省很多计算。

伪代码：

整数 Levenshtein距离(字符串 str1[1..m], 字符串 str2[1..n])

//声明变量， d[i , j]用于记录str1[1...i]与str2[1..j]的Levenshtein距离

int d[0..m, 0..n]

//初始化

for i from 0 to m

d[i, 0] := i

for j from 0 to n

d[0, j] := j

//用动态规划方法计算Levenshtein距离

for i from 1 to m

for j from 1 to n

{

//计算替换操作的代价，如果两个字符相同，则替换操作代价为0，否则为1

if str1[i]== str2[j] then cost := 0

else cost := 1

//d[i,j]的Levenshtein距离，可以有

d[i, j] := minimum(

d[i-1, j] + 1,  //在str1上i-1位置插入字符（或者在str2上j位置删除字符）

d[i, j-1] + 1,  //在str1上i位置删除字符（或者在str2上j-1位置插入字符）

d[i-1, j-1] + cost // 替换操作

)

}

//返回d[m, n]

return d[m, n]

wikisource上有不同的编程语言的版本。

java代码实现

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　　测试代码：

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　　来源：http://www.cnblogs.com/codeplus/p/3392232.html