[经典] 背包问题（一）

【1】01背包

N个物品，占容c[i]，价值w[i]，放入1个容量为V的背包，使得总价值最大

分析：每种物品仅有一件，可以选择放或不放

转移方程：opt[i][v] = max{opt[i - 1][v], opt[i - 1][v - c[i]] + w[i]}

复杂度：时间空间均为O(NV)，空间复杂度可压缩，用opt[v]表示，但需要注意的是v必须从V到0遍历，否则逻辑错误；

初始化技巧：如果要求刚好装满，则设为负无穷；如果只要求最大，则设为0即可。

事实上，由于对某件物品的01处理问题会在不同情景下都被调用，所以可以写成一个调用函数ZeroOnePack(cost, weigth)，其中v的下限可被优化

procedure ZeroOnePack(cost,weight)     
    for v=V..cost 
        f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight} 

所以本题的伪代码可以写成

for i=1..N 
    ZeroOnePack(c[i],w[i]);

另外，其实下限可以进一步被优化，当V很大时有效，此时本题的伪代码可以写成

for i=1..n 
    bound=max{V-sum{w[i..n]},c[i]}     
    for v=V..bound     　　     f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight} 

【2】完全背包

特点是每件物品的数目都是没有限制的，可以由01背包延展出解法，即f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]}, 0<=k*c[i]<=v；复杂度很显然上升了O(v/c[i])，所以尝试找到优化的方法。最简单的优化：c[i] < c[j] && w[i] > w[j]，则显然应该选择w[i]，去除j物品。

先是最小均分，将每个物品当成有v/c[i]个，则完全背包等效于01背包，复杂度仍比01上升O(v/c[i])；然后是指数拆分，将每个物品拆分成费用为c[i]*2^k、价值为w[i]*2^k的子物品，则复杂度只上升O(log(v/c[i]))。

经典解法：复杂度与01背包一样，只有O(VN)。动态规划方程为f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i][v-c[i]]+w[i]}，而空间复杂度为O(V)的算法只需要将v从0到V顺序遍历。

procedure CompletePack(cost,weight)     
    for v=cost..V 
        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

事实上，v循环与i循环的次序可以颠倒

【3】多重背包

特点是每件物品的数目有中庸的限制，即第i件物品的数目限制是n[i]。最直接的方法也是拆分01背包，f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]}, 0<=k<=n[i]，复杂度为O(V*Σn[i])；然后是指数拆分，也是经典解法，复杂度为O(V*Σlog n[i])。

procedure MultiplePack(cost,weight,amount)     
    if cost*amount>=V 
        CompletePack(cost,weight)         
        return     
    integer k=1     
    while k<amount 
        ZeroOnePack(k*cost,k*weight)         
        amount=amount-k        
        k=k*2 
        ZeroOnePack(amount*cost,amount*weight)

还有复杂度更低的方法，复杂度与01背包一样，只有O(VN)，方法是单调队列优化，超了NOIP范围。

【4】混合背包

将前三种背包过程分类混合使用，伪代码：

for i=1..N 
    if 第i件物品属于01背包        
        ZeroOnePack(c[i],w[i])     
    else if 第i件物品属于完全
        CompletePack(c[i],w[i])    
    else if 第i件物品属于多重背包         
        MultiplePack(c[i],w[i],n[i])         

【5】二维费用背包

多用一个状态记录多出来的费用，设f[i][v][u]表示前i件物品付出两种代价分别为v和u时可获得的最大价值。状态转移方程就是：

f[i][v][u]=max{f[i-1][v][u],f[i-1][v-a[i]][u-b[i]]+w[i]}