$[\ HAOI\ 2015\ ]\ $树上染色

\(Description\)

定义树的价值为，黑点两两之间的最短距离的和加上白点两两之间的最短距离距离的和。问价值最大值是多少。

• \(N,K\in [1,2000],K\le N\)

\(\\\)

\(Solution\)

• 将问题转化为对每条边的贡献统计。考虑一条边会将树分成两个连通块，则该边的贡献等于

  边权\(\times(\)由这条边分开的两个连通块内黑点个数之积\(+\)由这条边分开的两个连通块内白点个数之积\()\)

• 于是树形背包，\(f[i][j]\)表示在以\(i\)号节点为根的子树中放置\(j\)个黑点，该子树（包括\(i?\)节点到其父节点的边）中的所有边能够产生贡献的最大值。同时在\(DP\)的过程中维护子树大小。
• 在\(DP\)结束之后，考虑子树内黑节点个数为\(j\)，子树内白节点个数为\(size[i]-j\)，子树外黑色节点数为\(K-j\)，子树外白色节点数为\(N-K-(size[i]-j)\)\(f[i][j]\)。设\(w\)为\(i\)号节点到其父节点的边权，则在扫描过所有当前节点的子树之后，有
  \[
  f[i][j]+=w\times \bigg((size[i]-j)\times(N-K-size[i]-j)+j\times (K-j)\bigg)
  \]
• 注意树形背包时更新的顺序，子树是只能选择一次的，所以整棵树选择黑节点数和子树选择黑节点数都要从大到小枚举。

\(\\\)

\(Code\)

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 4010
#define R register
#define gc getchar
#define inf 900000000000000000ll
using namespace std;
typedef long long ll;

inline ll rd(){
  ll x=0; bool f=0; char c=gc();
  while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}
  while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}
  return f?-x:x;
}

ll n,m,tot,sz[N],hd[N],f[N][N];

struct edge{ll w,to,nxt;}e[N<<1];
inline void add(ll u,ll v,ll w){
  e[++tot].to=v; e[tot].w=w;
  e[tot].nxt=hd[u]; hd[u]=tot;
}

void dfs(ll u,ll fa){
  sz[u]=1;
  for(R ll i=2;i<=m;++i) f[u][i]=-inf;
  for(R ll i=hd[u],v;i;i=e[i].nxt)
    if((v=e[i].to)!=fa){
      dfs(v,u);sz[u]+=sz[v];
      for(R ll j=min(sz[u],m);~j;--j)
        for(R ll k=0;k<=min(j,sz[v]);++k)
          f[u][j]=max(f[u][j],f[u][j-k]+f[v][k]+(ll)e[i].w*(k*(m-k)+(sz[v]-k)*(n-m-(sz[v]-k))));
    }
}

int main(){
  n=rd(); m=rd();
  for(R ll i=1,u,v,w;i<n;++i){
    u=rd(); v=rd(); w=rd();
    add(u,v,w); add(v,u,w);
  }
  dfs(1,0);
  printf("%lld\n",f[1][m]);
  return 0;
}

原文地址：https://www.cnblogs.com/SGCollin/p/9702920.html