Luogu P2051 [AHOI2009]中国象棋(dp)

P2051 [AHOI2009]中国象棋

题面

题目描述

这次小可可想解决的难题和中国象棋有关,在一个 \(N\) 行 \(M\) 列的棋盘上,让你放若干个炮(可以是 \(0\) 个),使得没有一个炮可以攻击到另一个炮,请问有多少种放置方法。大家肯定很清楚,在中国象棋中炮的行走方式是:一个炮攻击到另一个炮,当且仅当它们在同一行或同一列中,且它们之间恰好 有一个棋子。你也来和小可可一起锻炼一下思维吧!

输入输出格式

输入格式:

一行包含两个整数 \(N\) , \(M\) ,之间由一个空格隔开。

输出格式:

总共的方案数,由于该值可能很大,只需给出方案数模 \(9999973\) 的结果。

输入输出样例

输入样例:

1 3

输出样例:

7

说明

样例说明

除了 \(3\) 个格子里都塞满了炮以外,其它方案都是可行的,所以一共有 \(2 \times 2 \times 2-1=7\) 种方案。

数据范围

$100 % $的数据中 \(N\) 和 \(M\) 均不超过 \(100\)

$50 % $的数据中 \(N\) 和 \(M\) 至少有一个数不超过 \(8\)

$30 % $ 的数据中 \(N\) 和 \(M\) 均不超过 \(6\)

思路

晚上帮 \(alec\) 大佬调 \(L^AT_EX\) 结果还是没有调好,于是就来做题,没想到这个紫题这么简单。(奶一口,一个月之内它会变蓝)

很显然,同行同列不能摆超过两个炮,所以首先想到的是类似八皇后啥的的状压 \(DP\) ,但是本题要记录没有放棋子、放了一个棋子、放了两个棋子这三种状态,要用我不会打(其实是懒)的手写三进制,而且 \(3^100\) 内存也是不允许的,所以考虑用其它方法来更新。

定义 \(f[i][j][k]\) 表示放了前 \(i\) 行后共有 \(j\) 列上各有两个炮,且共有 \(k\) 列上各有一个炮的情况的方案数。首先,显然有 \(f[0][0][0]=1\) 。而对于新的一行,我们就可以这样更新:

  1. 这一行不放: \(f[i][j][k]+=f[i-1][j][k]\) ;
  2. 这一行放了一个,且这一个放在原有一个炮的一列上: \(f[i][j][k]+=f[i-1][j-1][k+1] \times (k+1)\) ;
  3. 这一行放了一个,且这一个放在没有炮的一列上: \(f[i][j][k]+=f[i-1][j][k-1] \times (m-j-k+1)\) ;
  4. 这一行放了两个,且这两个都放在原来没有炮的两列上: \(f[i][j][k]+=f[i-1][j][k-2] \times C_{m-j-k+2}^2\) ;
  5. 这一行放了两个,且一个放在原来没有炮的一列上,另一个放在原来有一个炮的一列上: \(f[i][j][k]+=f[i-1][j-1][k] \times (m-j-k+1) \times k\) ;
  6. 这一行放了两个,且两个都放在原来有一个炮的两列上: \(f[i][j][k]+=f[i-1][j-2][k+2] \times C_{k+2}^2\) ;

一共有 \(6\) 种转移途径呢!但是并不是每种状态都可以有六种转移方式,我们还要在代码中加入对于边界的判断,这样就能顺利 \(AC\) 了。

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL P=9999973;
LL n,m,ans,f[105][105][105];
LL C(LL x){return x*(x-1)/2;}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    f[0][0][0]=1;
    for(LL i=1;i<=n;i++)
        for(LL j=0;j<=m;j++)
            for(LL k=0;k+j<=m;k++)
            {
                f[i][j][k]=f[i-1][j][k];///这一行不放
                ///放一个
                if(j-1>=0&&k+1<=m) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i-1][j-1][k+1]*(k+1))%P;///从k变为j
                if(k-1>=0) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i-1][j][k-1]*(m-j-k+1))%P;///新增一个k
                ///放两个
                if(k-2>=0) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i-1][j][k-2]*C(m-j-k+2))%P;///新增两个k状态
                if(j-1>=0&&k-1>=0) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i-1][j-1][k]*(m-j-k+1)*k)%P;///1个从k变为j,一个新增k
                if(j-2>=0&&k+2<=m) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i-1][j-2][k+2]*C(k+2))%P;///2个从k变为j
            }
    for(LL i=0;i<=m;i++)
        for(LL j=0;i+j<=m;j++)
            ans=(ans+f[n][i][j])%P;
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

原文地址:https://www.cnblogs.com/coder-Uranus/p/9746300.html

时间: 2024-10-08 10:39:19

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Luogu P2051[AHOI2009]中国象棋【dp】By cellur925

题目传送门 题目大意:给定一个$n*m$的棋盘,求放三个"炮"使它们不共行也不共列的方案数.($n,m$$<=100$) 这题主要是转移比较困难,因为情况比较多,所以需要冷静大胆细心地进行分情况讨论. 首先我们还是设计出状态:设$f[i][j][k]$表示前$i$行,放1枚棋子的有$j$列,放2枚棋子的有$k$列的方案数. 我们这样思考:放几个?放在哪? 在第$i$行不放棋子.显然我们可以由$f[i-1][j][k]$转移过来. (f[i][j][k]+=f[i-1][j][k]

luogu P2051 [AHOI2009]中国象棋

分析: 因为这是道dp题n<=100,第一想到O(n^3)的算法,发现每行每列最多两个炮,f(i,j,k)表示放完第i行,有j列一个炮,与k列两个炮的方案.即可递推. 详细看代码. #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const ll MOD=9999973; const int maxn=110; ll f[maxn][maxn][maxn]; /

P2051 [AHOI2009]中国象棋

题目描述 这次小可可想解决的难题和中国象棋有关,在一个N行M列的棋盘上,让你放若干个炮(可以是0个),使得没有一个炮可以攻击到另一个炮,请问有多少种放置方法.大家肯定很清楚,在中国象棋中炮的行走方式是:一个炮攻击到另一个炮,当且仅当它们在同一行或同一列中,且它们之间恰好 有一个棋子.你也来和小可可一起锻炼一下思维吧! 输入输出格式 输入格式: 一行包含两个整数N,M,之间由一个空格隔开. 输出格式: 总共的方案数,由于该值可能很大,只需给出方案数模9999973的结果. 输入输出样例 输入样例#

p2051 [AHOI2009]中国象棋. (bzoj 1801)

题目描述 这次小可可想解决的难题和中国象棋有关,在一个N行M列的棋盘上,让你放若干个炮(可以是0个),使得没有一个炮可以攻击到另一个炮,请问有多少种放置方法.大家肯定很清楚,在中国象棋中炮的行走方式是:一个炮攻击到另一个炮,当且仅当它们在同一行或同一列中,且它们之间恰好 有一个棋子.你也来和小可可一起锻炼一下思维吧! 40pts 考试遇到了这个题,玄学打表得了\(40pts\) 玄学打表吼啊 xjb分析 正解竟然是个\(DP\)? 还有人说是状压\(DP\)?哪里来的状压啊! 前置知识 考虑到我

P2051 [AHOI2009]中国象棋[线性DP]

最近智商有点不在线.其实一直不在线. 题目 先是想用$f[i][j][k][0/1/2]$表示摆了i行时有j列空着,k列有了一个炮,且当下摆了0/1/2个的状态,转移方程写的出来但是极其繁琐.于是又设法听取评讲者题解修改状态,最后的012完全可以删去.那么仍可以表示这一行那些列摆过1个,那些列摆过0个的种类.转移时分类即可. $f[i][j][k]+=f[i-1][j][k]$ 什么都不摆 $f[i][j][k]+=(j+1)*f[i-1][j+1][k-1]$  摆1个炮 $f[i][j][k

BZOJ 1801: [Ahoi2009]chess 中国象棋( dp )

dp(i, j, k)表示考虑了前i行, 放了0个炮的有j列, 放了1个炮的有k列. 时间复杂度O(NM^2) -------------------------------------------------------------------------- #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const in

BZOJ1801:[AHOI2009]中国象棋——题解

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1801 https://www.luogu.org/problemnew/show/P2051 这次小可可想解决的难题和中国象棋有关,在一个N行M列的棋盘上,让你放若干个炮(可以是0个),使得没有一个炮可以攻击到另一个炮,请问有多少种放置方法.大家肯定很清楚,在中国象棋中炮的行走方式是:一个炮攻击到另一个炮,当且仅当它们在同一行或同一列中,且它们之间恰好 有一个棋子.你也来和小可可一起锻炼一下思维吧

[AHOI2009]中国象棋

题目描述 这次小可可想解决的难题和中国象棋有关,在一个N行M列的棋盘上,让你放若干个炮(可以是0个),使得没有一个炮可以攻击到另一个炮,请问有多少种放置方法.大家肯定很清楚,在中国象棋中炮的行走方式是:一个炮攻击到另一个炮,当且仅当它们在同一行或同一列中,且它们之间恰好 有一个棋子.你也来和小可可一起锻炼一下思维吧! 输入输出格式 输入格式: 一行包含两个整数N,M,之间由一个空格隔开. 输出格式: 总共的方案数,由于该值可能很大,只需给出方案数模9999973的结果. 输入输出样例 输入样例#

bzoj1801: [Ahoi2009]chess 中国象棋 [dp]

Description 在N行M列的棋盘上,放若干个炮可以是0个,使得没有任何一个炮可以攻击另一个炮. 请问有多少种放置方法,中国像棋中炮的行走方式大家应该很清楚吧. Input 一行包含两个整数N,M,中间用空格分开. Output 输出所有的方案数,由于值比较大,输出其mod 9999973 Sample Input 1 3 Sample Output 7 HINT 除了在3个格子中都放满炮的的情况外,其它的都可以. 100%的数据中N,M不超过10050%的数据中,N,M至少有一个数不超过