切割钢条【动态规划】

假设公司出售一段长度为i英寸的钢条的价格为Pi（i = 1, 2, ...单位：美元），下面给出了

价格表样例：

长度i    1     2     3     4     5     6     7    8     9    10

价格Pi  1     5     8     9    10   17   17  20   24    30

切割钢条的问题是这样的：给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表Pi，求切割方案，使

得销售收益Rn最大。当然，如果长度为n英寸的钢条价格Pn足够大，最优解可能就是完全

不需要切割。对于上述价格表样例，我们可以观察所有最优收益值Ri及对应的最优解方案：

R1 = 1，切割方案1 = 1（无切割）

R2 = 5，切割方案2 = 2（无切割）

R3 = 8， 切割方案3 = 3（无切割）

R4 = 10， 切割方案4 = 2 + 2

R5 = 13， 切割方案5 = 2 + 3

R6 = 17， 切割方案6 = 6（无切割）

R7 = 18， 切割方案7 = 1 + 6或7 = 2 + 2 + 3

R8 = 22， 切割方案8 = 2 + 6

R9 = 25， 切割方案9 = 3 + 6

R10 = 30，切割方案10 = 10（无切割）

更一般地，对于Rn（n >= 1），我们可以用更短的钢条的最优切割收益来描述它：

Rn = max(Pn, R1 + Rn-1, R2 + Rn-2,...,Rn-1 + R1) 公式I

首先将钢条切割为长度为i和n - i两段，接着求解这两段的最优切割收益Ri和Rn - i

（每种方案的最优收益为两段的最优收益之和），由于无法预知哪种方案会获得最优收益，

我们必须考察所有可能的i，选取其中收益最大者。如果直接出售原钢条会获得最大收益，我

们当然可以选择不做任何切割。

//带备忘的自顶向下法
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int INF = 0xffffff0;
int p[110],r[110];

int MEMOIZED_CUT_ROD_AUX(int n)
{
    if(r[n] >= 0)//检查所求值是否是已知的
        return r[n];
    int q;
    if(n == 0)//这里计算局部最优解
        q = 0;
    else
    {
        q = -INF;
        for(int i = 1;i <= n; i++)
            q = max(q,p[i]+MEMOIZED_CUT_ROD_AUX(n-i));
    }
    r[n] = q;//将q存入r[n]，返回q值
    return q;
}
int MEMOIZED_CUT_ROD(int n)
{
    int i;
    for(i = 0; i <= n; i++)//全部初始化
        r[i] = -INF;
    return MEMOIZED_CUT_ROD_AUX(n);//求解
}

int main()
{
    int N;
    while(~scanf("%d",&N))
    {
        for(int i = 1; i <= N; i++)
            scanf("%d",&p[i]);
        int ans = MEMOIZED_CUT_ROD(N);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

钢条切割问题还存在一种相似的但更为简单的地柜求解方法：

我们将钢条从左边切割下长度为i的一段，只对右边剩下长度为n-i的一段惊醒切割。（递归

求解），对左边的一段则不再切割。即问题的分解方式为：将长度为n的钢条分解为左边开

始一段，以及剩余部分继续分解的结果。这样，不做任何切割的方案就可以描述为：第一段

的长度为n，收益为Pn，剩余部分长度为0，对应的收益为R0 = 0。于是我们可以得到公式I

的简化版本：

Rn = max(Pi+Rn-i)(1<=i<=n) 　公式ＩＩ

在此公式中，原问题的最优解只包含一个相关子问题（右端剩余部分）的解，而不是两个。

//自底向上法
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int INF = 0xffffff0;
int p[110],r[110];//r[n]来保存子问题

int BOTTOM_UP_CUT_ROD(int n)
{
    r[0] = 0;//长度为0的钢条没有收益
    for(int j = 1; j <= n; j++)//对j=1,2,3,…,n按升序求解每个规模为j的子问题。
    {
        int q = -INF;
        for(int i = 1; i <= j; i++)
        {
            q = max(q,p[i]+r[j-i]);//直接访问数组r[j-i]来获得规模为j-i的子问题的解
        }
        r[j] = q;
    }
    return r[n];
}
int main()
{
    int N;
    while(~scanf("%d",&N))
    {
        for(int i = 1; i <= N; i++)
            scanf("%d",&p[i]);

        int ans = BOTTOM_UP_CUT_ROD(N);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}