最近一个朋友问这方面的一些问题，其实之前也就很粗略的看了下fisher，真正帮别人解答问题的时候才知道原来自己也有很多东西不懂。下面小结下自己对fisher判别的理解：
其实fisher和PCA差不多，熟悉PCA的人都知道，PCA其实就是在寻找一个子空间。这个空间怎么来的呢，先求协方差矩阵，然后求这个协方差矩阵的特征空间（特征向量对应的空间），选取最大的特征值对应的特征向量组成特征子空间（比如说k个，相当于这个子空间有k维，每一维代表一个特征，这k个特征基本上可以涵盖90%以上的信息）。那么我们把样本投影在这个子空间，原来那么多维的信息就可以用这k维的信息代替了，也就是说降维了。至于PCA为啥要用求协方差矩阵然后求特征子空间的方法，这个数学上有证明，记得在某篇文章上看过，有兴趣的可以找找，看看证明。
那么fisher空间又是怎么一回事呢，其实fisher判别和PCA是在做类似的一件事，都是在找子空间。不同的是,PCA是找一个低维的子空间，样本投影在这个空间基本不丢失信息。而fisher是寻找这样的一个空间，样本投影在这个空间上，类内距离最小，类间距离最大。那么怎么求这个空间呢，类似于PCA，求最大特征值对应的特征向量组成的空间。
假设我们给定C类样本，我们先求sw（类内离散度）和sb（类间离散度），如下所示：
那么样本投影在新的投影空间中类间离散度为：
样本投影在新的投影空间中类内离散度为：
那么只要我们最大化
就可以使得样本投影在这个空间上类内离散度最小，类间离散度最大，其中，w就是我们要找的投影方向。但是问题就来了，如果sw是一个奇异矩阵，那么这个式子是求不出来的。所以就有高人想到用这个式子代替：
这里的B是一个权衡因子，权衡类间距离和类内距离谁的比重大，试验中可以根据需要调节。也就是说，只要我们可以根据梯度下降法迭代w，使得
最大化，这个w就是我们所要求的最好的投影方向。在fisher中我们去w为最大特征值对应的那个特征向量，也就是说w是一个nx1的向量。当然我们也可以取w为最大几个特征值对应的那几个特征向量，但是这样我们所求的
就是一个矩阵，达不到求损失（一般是具体的数）函数的目的。
如果sw是非奇异矩阵，那么我们可以用更为简单的公式求解w，如下：
好了，下面来给出fisher的一个简单的matlab代码：
main.m
1: clear; clc;
2: %定义两类样本的空间范围
3: x1min=2;x1max=6;
4: y1min=-4,y1max=0;
5: x2min=6,x2max=10;
6: y2min=2,y2max=6;
7: %产生两类2D空间的样本
8: c1=createSwatch(x1min,x1max,y1min,y1max,100);
9: c2=createSwatch(x2min,x2max,y2min,y2max,80);
10: %获取最佳投影方向
11: w=fisher_w(c1,c2);
12: %计算将样本投影到最佳方向上以后的新坐标
13: cm1=c1(1,:)*w(1)+c1(2,:)*w(2);
14: cm2=c2(1,:)*w(1)+c2(2,:)*w(2);
15: cc1=[w(1)*cm1;w(2)*cm1];
16: cc2=[w(1)*cm2;w(2)*cm2];
17: %打开图形窗口
18: figure;
19: %绘制多图
20: hold on;
21: %绘制第一类的样本
22: plot(c1(1,:),c1(2,:),‘rp‘);
23: %绘制第二类的样本
24: plot(c2(1,:),c2(2,:),‘bp‘);
25: %绘制第一类样本投影到最佳方向上的点
26: plot(cc1(1,:),cc1(2,:),‘r+‘);
27: %绘制第二类样本投影到最佳方向上的点
28: plot(cc2(1,:),cc2(2,:),‘b+‘);
29: w=10*w;
30: %画出最佳方向
31: line([-w(1),w(1)],[-w(2),w(2)],‘color‘,‘k‘);
32: axis([-10,10,-10,10]);
33: grid on;
34: hold off;
fisher_w.m
1: function w = fisher_w(c1,c2)
2: %利用Fisher准则函数确定最佳投影方向
3: %c1和c2分别为两类样本的样本矩阵
4: %得到样本矩阵的尺寸信息
5: %样本矩阵的行数代表样本的维数
6: %样本矩阵的列数代表样本的个数
7: size1=size(c1);
8: size2=size(c2);
9: %计算两类样本的均值向量
10: m1=sum(c1,2)/size1(2);
11: m2=sum(c2,2)/size2(2);
12: %样本向量减去均值向量
13: c1=c1-m1(:,ones(1,size1(2)));
14: c2=c2-m2(:,ones(1,size2(2)));
15: %计算各类的类内离散度矩阵
16: S1=c1*c1.‘;
17: S2=c2*c2.‘;
18: %计算总类内离散度矩阵
19: Sw=S1+S2;
20: %计算最佳投影方向向量
21: w=Sw^-1*(m1-m2);
22: %将向量长度变成1
23: w=w/sqrt(sum(w.^2));
24: end
createSwatch.m
1: function swatch=createSwatch(xmin,xmax,ymin,ymax,num,varargin)
2:
3: xlen = abs(xmax - xmin);
4: ylen = abs(ymax - ymin);
5:
6: if numel(varargin)>0 && isa(varargin{1},‘function_handle‘)
7: f = varargin{1};
8: else
9: f = @rand;
10: end
11: swatch=[xlen*f(1,num)+min(xmax,xmin);ylen*f(1,num)+min(ymax,ymin)];
12:
13: end
14:
实验效果如下：
