目录
- 博弈论
- 1.公平组合博弈(ICG)
- SG定理：
- SG函数性质：
- SG函数求法
- 2.Bash（巴什博弈）
- 3.Nim博弈（尼姆博弈）
- 4.Wythoff Game（威佐夫博弈）
- 5.Fibonacci博弈
- 1.公平组合博弈(ICG)
博弈论
理论铺垫：
定义P-position和N-position：其中P代表Previous，N代表Next。直观的说，上一次move的人有必胜策略的局面是P-position，即P-position代表先手必输，N-position代表先手必赢。
1.公平组合博弈(ICG)
定义：
1.两个人轮流参与； 2.游戏局面有限； 3.同一个局面两个人操作完全相同； 4.无法进行操作的人输； 5.在有限步内结束。
模型：给定一个有向无环图和一个起始顶点上的一枚棋子，两名选手交替的将这枚棋子沿有向边进行移动，无法移动者判负。
解题思路：SG函数（Sprague-Grudy）
SG定理：
1：给定一个有限子集 S ? N,令mex S为没有出现在S中的最小自然数。例：mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
2：对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Garundy函数g如下：sg(x)=mex{ sg(y) | y是x的后继 }。即y可以一步操作到x;
SG函数性质：
1：SG值为0必败态， 否则为必胜态
2：对于一个sg(x)=0的顶点x，它的所有后继y都满足g(y)!=0。同理，对于一个sg(x)!=0的顶点，必定存在一个后继y满足g(y)=0。
例：有三堆石子，第一堆石子的可以取1、2、3个石子，则:sg[x] = x % 4；第二堆可以取奇数个石子，则sg[x] = n % 2；第三堆有n个石子，其为Nim博弈，sg值为n，将三堆的sg值全部异或一下，判断是不是0，是0则先手必败（推广到n堆其结论一样适用）。
SG函数求法
其sg函数可以通过下面的模板来求：
//f[]：可以取走的石子个数
//sg[]:0~n的SG函数值
//hash[]:mex{}
int f[N],sg[N],hash[N];
void getSG(int n)
{
int i,j;
memset(sg,0,sizeof(sg));
for(i=1;i<=n;i++)
{
memset(hash,0,sizeof(hash));
for(j=1;f[j]<=i;j++)
hash[sg[i-f[j]]]=1;
for(j=0;j<=n;j++) //求mes{}中未出现的最小的非负整数
{
if(hash[j]==0)
{
sg[i]=j;
break;
}
}
}
}记忆化搜索求SG函数，判断该点的sg值是否为-1，如果是，则调用函数：
//注意 S数组要按从小到大排序 SG函数要初始化为-1 对于每个集合只需初始化1遍
//n是集合s的大小 f[i]是定义的特殊取法规则的数组
int s[110],sg[10010],n;
void SG_dfs(int x)
{
int i;
if(sg[x]!=-1)
return;
bool vis[maxn];
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(i=1;i<=k;i++)
{
if(x>=f[i])
{
if(sg[x-f[i]]==-1)
SG_dfs(x-f[i]);
vis[sg[x-f[i]]]=1;
}
}
int e;
for(i=0;;i++)
if(!vis[i])
{
sg[x]=i;
break;
}
}AC代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e4+5;
int f[101],sg[maxn];
int k,T,tot=0,temp,inf;
void SG_dfs(int x)
{
int i;
if(sg[x]!=-1)
return;
bool vis[maxn];
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(i=1;i<=k;i++)
{
if(x>=f[i])
{
if(sg[x-f[i]]==-1)
SG_dfs(x-f[i]);
vis[sg[x-f[i]]]=1;
}
}
int e;
for(i=0;;i++)
if(!vis[i])
{
sg[x]=i;
break;
}
}
int main()
{
//ios::sync_with_stdio(false);
while(scanf("%d",&k)&&k)
{
//memset(f,0,sizeof(f));
memset(sg,-1,sizeof(sg));
sg[0]=0;
for(int i=1;i<=k;++i){
scanf("%d",&f[i]);
}
//sort(f+1,f+k+1);
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
tot=0;
scanf("%d",&temp);
for(int i=1;i<=temp;++i){
scanf("%d",&inf);
if(sg[inf]==-1)
SG_dfs(inf);
tot^=sg[inf];
}
!tot?cout<<"L":cout<<"W";
}
cout<<endl;
}
system("pause");
return 0;
}2.Bash（巴什博弈）
定义：有一堆共n个物品，两个人轮流从中间取，每次最多取m个物品，先取完的人赢。
解题思路：n对（m+1）取模，模不为0，则先手必胜，模为0，则先手必败（由SG函数知）。
3.Nim博弈（尼姆博弈）
定义：有n堆物品，两人轮流从每堆中取物品，每次最少取一个，无上限，先取完者胜利。
解题思路：所有堆的个数相异或，如果结果为0，则先手必败，不为0则先手必胜。必胜走法的方案数：将总的异或结果同每一堆相异或，如果结果小于该堆的数量，则可以从该堆取出x-x^tot个；
4.Wythoff Game（威佐夫博弈）
定义：有两堆若干个物品，两人轮流从一堆中取若干的物品或两堆取同样多的额物品，至少取一个，先取完的为胜。
解题思路：令当前局势(Ak,Bk)，则当前态势为先手必败态当且仅当Ak=((sqrt(5)+1)/2)*k、Bk=Ak+k;取出多少个则直接暴力循环判断是不是必败态即可
5.Fibonacci博弈
定义：有一堆个数为n的石子，双方轮流取石子，先手不能一次把所有石头取完，且后者取得石子的数目不能超过前者所取数目的2倍（可以包含1和2倍）。
解题思路：判断该数是不是裴波那契数列，如果是，则先手必败，否则先手必胜。
原文地址：https://www.cnblogs.com/StungYep/p/12254195.html