[Jobdu] 题目1544：数字序列区间最小值

题目描述：

给定一个数字序列，查询任意给定区间内数字的最小值。

输入：

输入包含多组测试用例，每组测试用例的开头为一个整数n(1<=n<=100000)，代表数字序列的长度。
接下去一行给出n个数字，代表数字序列。数字在int范围内。
下一行为一个整数t(1<=t<=10000)，代表查询的次数。
最后t行，每行给出一个查询，由两个整数表示l、r(1<=l<=r<=n)。

输出：

对于每个查询，输出区间[l,r]内的最小值。

样例输入：

5
3 2 1 4 3
3
1 3
2 4
4 5

样例输出：

1
1
3

RMQ (Range Minimum/Maximum Query)问题是指：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n)，返回数列A中下标在i,j里的最小(大）值，也就是说，RMQ问题是指求区间最值的问题。

主要方法及复杂度如下：

1、朴素（即搜索），O(n)-O(qn) online。

2、线段树，O(n)-O(qlogn) online。

3、ST（实质是动态规划），O(nlogn)-O(q) online。

ST算法（Sparse Table），以求最大值为例，设d[i,j]表示[i,i+2^j-1]这个区间内的最大值，那么在询问到[a,b]区间的最大值时答案就是max(d[a,k], d[b-2^k+1,k])，其中k是满足2^k<=b-a+1(即长度)的最大的k,即k=[ln(b-a+1)/ln(2)]。

d的求法可以用动态规划，d[i, j]=max(d[i, j-1],d[i+2^(j-1), j-1])。

4、RMQ标准算法：先规约成LCA（Lowest Common Ancestor），再规约成约束RMQ，O(n)-O(q) online。

首先根据原数列，建立笛卡尔树，从而将问题在线性时间内规约为LCA问题。LCA问题可以在线性时间内规约为约束RMQ，也就是数列中任意两个相邻的数的差都是+1或-1的RMQ问题。约束RMQ有O(n)-O(1)的在线解法，故整个算法的时间复杂度为O(n)-O(1)。

下面是方法3的实现：

 1 #include <climits>
 2 #include <cmath>
 3 #include <cstdio>
 4 #include <iostream>
 5 using namespace std;
 6
 7 int n, t;
 8 int l, r;
 9 int dp[100001][32];
10
11 void init() {
12     for (int j = 1; (1<<j) <= n; ++j) {
13         for (int i = 1; i + (1<<j) - 1 <= n; ++i) {
14             dp[i][j] = min(dp[i][j-1], dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
15         }
16     }
17 }
18
19 void getRes() {
20     int k = (int) (log((double)(r-l+1))/log(2.0));
21     int res =  min(dp[l][k], dp[r-(1<<k)+1][k]);
22     printf("%d\n", res);
23 }
24
25 int main() {
26     while (scanf("%d", &n) != EOF) {
27         for (int i = 1; i <= n; ++i) {
28             scanf("%d", &dp[i][0]);
29         }
30         init();
31         scanf("%d", &t);
32         for (int i= 0; i < t; ++i) {
33             scanf("%d %d", &l, &r);
34             getRes();
35         }
36     }
37     return 0;
38 }
39 /**************************************************************
40     Problem: 1544
41     User: hupo250
42     Language: C++
43     Result: Accepted
44     Time:320 ms
45     Memory:14068 kb
46 ****************************************************************/